4.1.2. Формулы корней квадратного уравнения

Определения и обозначения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Здесь a, b и c — числа, а x — неизвестное; коэффициент a называют старшим, потому что он стоит при x². Условие a ≠ 0 означает, что в уравнении действительно есть член со второй степенью неизвестного. Это нужно проверить до решения: при a = 0 уравнение становится линейным.

Дискриминант — число D = b² − 4ac, определяющее количество корней квадратного уравнения. Для его вычисления берут коэффициенты из записи ax² + bx + c = 0, сохраняя их знаки. Значение D помогает заранее понять, существуют ли действительные корни и сколько их. Поэтому его находят до подстановки в формулу корней.

Формула корней квадратного уравнения — выражение x = (−b ± √D)/(2a), применяемое для нахождения корней при D ≥ 0. Знак ± означает, что нужно выполнить два вычисления: один раз взять плюс перед √D, другой — минус. Так формула учитывает все возможные действительные решения. Если D < 0, в действительных числах квадратный корень из D не существует.

Приведённое квадратное уравнение — уравнение вида x² + px + q = 0, полученное делением всех его членов на старший коэффициент. Такое деление возможно, потому что старший коэффициент не равен нулю. В приведённой записи коэффициент при x² равен 1, а остальные коэффициенты обозначены p и q. Для неё формулы корней записываются короче.

Как это устроено

Чтобы вывести формулу, исходное уравнение ax² + bx + c = 0 сначала делят на a, а затем переносят свободный член вправо. Получается x² + (b/a)x = −c/a. К обеим частям прибавляют квадрат половины коэффициента при x: это позволяет свернуть левую часть в квадрат двучлена. После извлечения квадратного корня остаются два случая — с плюсом и с минусом, а преобразования приводят к формуле x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a). Так формула возникает из обычных равносильных преобразований, а не является отдельным правилом без объяснения.

Выражение b² − 4ac называют дискриминантом от латинского слова со значением «различающий». Оно стоит под квадратным корнем в формуле и потому определяет, можно ли получить действительные значения x. Если выражение под корнем положительно, квадратный корень существует и даёт ненулевое число; если оно равно нулю, корень равен нулю. При отрицательном значении действительного квадратного корня нет, поэтому формула не даёт действительных решений.

При D > 0 числа √D и −√D различны, поэтому формула даёт два разных корня. При D = 0 оба вычисления с плюсом и минусом совпадают: прибавление нуля и вычитание нуля дают одно значение. При D < 0 невозможно извлечь квадратный корень в области действительных чисел, значит, действительных корней нет. Именно поэтому знак дискриминанта заранее определяет число решений.

Запись ± нельзя воспринимать как один знак, который выбирают наугад. Нужно отдельно подставить плюс и минус, каждый раз разделив всё выражение в числителе на 2a. Если D > 0, эти вычисления дают два корня; при D = 0 достаточно записать одно значение, чтобы не повторять одинаковый ответ. Такая проверка особенно полезна, когда b или a отрицательны.

Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 старший коэффициент равен единице. Поэтому делить на a не требуется, а в общем выражении можно положить a = 1, b = p, c = q: получаются D = p² − 4q и x = (−p ± √D)/2. Теорема Виета связывает корни с коэффициентами: их сумма равна −p, а произведение — q. Это даёт дополнительную проверку найденных значений и иногда помогает решить уравнение быстрее.

Количество корней квадратного уравнения в зависимости от дискриминанта

Сначала вычислите дискриминант, затем найдите в таблице строку с подходящим условием. Если D положителен, подставьте его в формулу дважды; если равен нулю, запишите единственный корень. При отрицательном D решение в действительных числах заканчивается выводом об отсутствии корней.

Разбор задач

Решить уравнение 2x² − 5x − 3 = 0

1. Сопоставляем уравнение с ax² + bx + c = 0: a = 2, b = −5, c = −3. Знаки коэффициентов переписываем внимательно, поскольку они участвуют в вычислении дискриминанта.
2. Вычисляем D = b² − 4ac = (−5)² − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49. Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два действительных корня.
3. Подставляем коэффициенты в формулу: x = (−(−5) ± √49)/(2 · 2) = (5 ± 7)/4. Рассчитываем оба значения, не пропуская ни один знак.
4. Получаем x₁ = (5 + 7)/4 = 3 и x₂ = (5 − 7)/4 = −½. Разные значения соответствуют двум корням уравнения.

Ответ: 3 и −½.

Решить уравнение 4x² + 4x + 1 = 0

1. Определяем коэффициенты: a = 4, b = 4, c = 1. Все они положительны, поэтому в выражении b² − 4ac вычитаем положительное число.
2. Находим D = 4² − 4 · 4 · 1 = 16 − 16 = 0. Значит, два значения из формулы совпадут, и достаточно вычислить один корень.
3. Используем формулу при D = 0: x = −b/(2a) = −4/(2 · 4) = −½. Запись со знаком ± дала бы тот же результат дважды, поскольку √0 = 0.

Ответ: −½.

Решить уравнение 3x² + 2x + 5 = 0 и определить число действительных корней

1. Записываем коэффициенты: a = 3, b = 2, c = 5. По формуле находим D = 2² − 4 · 3 · 5 = 4 − 60 = −56.
2. Дискриминант отрицателен. В действительных числах нельзя извлечь квадратный корень из −56, поэтому формула не даёт действительных значений x.
3. Делаем вывод о числе решений, не подставляя D под корень и не называя выражения с √−56 действительными корнями. Так знак дискриминанта позволяет закончить решение сразу после вычисления.

Ответ: действительных корней нет.

Типичные ошибки

Ошибка: неверно вычислить дискриминант, например забыть минус в −4ac или записать b² как 2b. Такое случается, когда подстановку делают в уме и теряют знаки коэффициентов. Проверка: отдельно выпишите b² и 4ac, а затем выполните именно вычитание b² − 4ac; отрицательный коэффициент при возведении в квадрат заключайте в скобки.

Ошибка: забыть в знаменателе формулы множитель 2a и разделить только на 2 либо только на a. Причина часто в том, что знак дроби мысленно относят не ко всему знаменателю. Проверка: перепишите формулу целиком как x = (−b ± √D)/(2a) и подставьте вместо a его значение. Знаменатель должен быть равен удвоенному старшему коэффициенту.

Ошибка: при D > 0 записать только один корень, хотя в формуле стоит ±. Обычно ученик выполняет первое вычисление и считает его достаточным. Проверка: поставьте рядом два выражения — с +√D и с −√D — и убедитесь, что оба рассчитаны. При положительном D это разные корни.

Ошибка: при D < 0 пытаться извлечь корень из отрицательного числа или записывать полученное выражение как действительный корень. Так происходит, если формулу применяют, не проверив знак дискриминанта. Проверка: сначала сравните D с нулём; при отрицательном результате завершите решение выводом, что действительных корней нет. Не используйте в таком случае квадратный корень из отрицательного числа.

Связь с другими темами

Для вычисления дискриминанта нужны правила действий с отрицательными числами, квадратами и алгебраическими выражениями, а для преобразований — умение решать линейные уравнения. Найденные корни помогают исследовать квадратную функцию: они показывают, где её график пересекает ось x. Формулы также применяют при решении квадратных неравенств и систем, а в текстовых задачах — когда условие приводит к квадратному уравнению.

Что запомнить

• Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.
• Дискриминант вычисляют по формуле D = b² − 4ac.
• При D > 0 уравнение имеет два действительных корня.
• При D = 0 уравнение имеет один действительный корень.
• При D < 0 действительных корней нет.
• Корни находят по формуле x = (−b ± √D)/(2a).