4.1.1. Квадратные уравнения в реальных процессах. Неполные квадратные уравнения и их решение

Определения и обозначения

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Переменная x входит во второй степени, поэтому такое уравнение называют квадратным. Эта запись нужна, чтобы узнавать общий вид уравнения и выбирать подходящий способ решения.

Коэффициенты квадратного уравнения — числа a, b и c в записи ax² + bx + c = 0. Число a называют старшим коэффициентом, b — коэффициентом при x, а c — свободным членом. По значениям коэффициентов можно определить вид уравнения и понять, какие слагаемые в нём отсутствуют.

Неполное квадратное уравнение — квадратное уравнение, в котором b = 0 или c = 0, либо оба эти коэффициента равны нулю. Поэтому оно может иметь вид ax² = 0, ax² + bx = 0 или ax² + c = 0. Такие уравнения решают проще полного квадратного уравнения, потому что в них можно применить вынесение общего множителя или извлечение корня.

Корень уравнения — значение переменной, при подстановке которого получается верное равенство. Например, для x² = 9 числа 3 и −3 являются корнями. Подстановка найденного значения в исходное уравнение — это проверка решения.

Как это устроено

Чтобы описать реальный процесс, неизвестную величину обозначают переменной, а условие переводят в равенство. Например, сторону квадрата можно обозначить x, тогда его площадь равна x². После записи условия уравнение упрощают и приводят к квадратному виду, но математическая модель должна сохранять смысл задачи: нельзя считать допустимыми отрицательную длину или время.

Рассмотрим форму ax² = 0, где a ≠ 0. Обе части можно разделить на ненулевое число a, и получится x² = 0. Квадрат равен нулю только тогда, когда само число равно нулю, поэтому единственный корень — x = 0.

В уравнении ax² + bx = 0 оба слагаемых содержат x, поэтому его выносят за скобки: x(ax + b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда x = 0 или ax + b = 0, то есть x = −b/a.

Если дано ax² + c = 0, сначала переносят c и делят на a: x² = −c/a. Знак числа −c/a определяет количество действительных корней: при положительном значении получаются два противоположных корня, при нуле — один, при отрицательном — ни одного. Причина в том, что квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

В задаче найденные корни нельзя принимать автоматически. Сначала их подставляют в исходное уравнение, чтобы исключить вычислительную ошибку, а затем проверяют ограничения условия. Так, отрицательный результат может быть алгебраическим корнем, но не может обозначать длину, массу или продолжительность времени.

Формы неполных квадратных уравнений и способы их решения

В таблице сначала найдите форму, совпадающую с вашим уравнением, затем проверьте условия на коэффициенты. После этого примените указанный способ и не забудьте проверить полученные корни. Последняя строка повторяет первый случай как его частный вид.

Разбор задач

Задача 1. Площадь квадрата, то есть квадрат его стороны, равна 49 м². Требуется найти сторону. Обозначим сторону через x и учтём, что длина не может быть отрицательной.

1. Составим уравнение: x² = 49.
2. Извлечём квадратный корень: x = 7 или x = −7.
3. Значение −7 не подходит для длины, поэтому оставляем x = 7.

Ответ: сторона квадрата равна 7 м. Проверка показывает: 7² = 49.

Задача 2. Нужно решить уравнение x(3x + 6) = 0. Здесь уже есть произведение двух множителей, поэтому делить всё уравнение на x не следует. Используем правило нулевого произведения.

1. Приравняем первый множитель к нулю: x = 0.
2. Приравняем второй множитель к нулю: 3x + 6 = 0.
3. Решим второе уравнение: 3x = −6, откуда x = −2.
4. Проверим: при x = 0 произведение равно нулю, а при x = −2 второй множитель равен 0.

Ответ: x = 0 и x = −2. Оба корня сохранены, потому что каждый обращает в нуль один из множителей.

Задача 3. Площадь прямоугольника равна 24 м², а его стороны равны x и x + 2 м. Произведение сторон равно площади, поэтому получаем квадратное уравнение. После решения нужно оставить только допустимую длину.

1. Составим уравнение: x(x + 2) = 24.
2. Раскроем скобки и перенесём 24: x² + 2x − 24 = 0.
3. Разложим на множители: (x + 6)(x − 4) = 0.
4. Получим x = −6 или x = 4.
5. Отрицательное значение не может быть длиной, поэтому x = 4, а вторая сторона равна 6 м.

Ответ: размеры прямоугольника — 4 м и 6 м. Проверка: 4 · 6 = 24, значит условие выполнено.

Типичные ошибки

При решении ax² + bx = 0 иногда делят обе части на x. Так теряют корень x = 0, ведь деление допустимо только при x ≠ 0. Вынесите x за скобки и решите оба уравнения, получившиеся из множителей.

Некоторые считают, что из x² = k всегда выходят два действительных корня. На самом деле при k < 0 корней нет, а при k = 0 корень только один. Перед извлечением корня определите знак правой части.

Ошибка в определении квадратного уравнения возникает, если забывают условие a ≠ 0. При a = 0 слагаемое с x² исчезает, и уравнение становится линейным. Проверьте коэффициент перед старшей степенью до начала решения.

Ещё одна ошибка — оставить все найденные значения в ответе задачи. Алгебраический корень может быть отрицательной длиной или временем, что невозможно по смыслу. Подставьте ответы в исходное условие и сопоставьте их с ограничениями задачи.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны свойства равенств, действия с одночленами и многочленами, разложение на множители и правило нулевого произведения. Эти навыки позволяют преобразовать условие и решить неполное уравнение без лишних действий.

Неполные квадратные уравнения являются основой для изучения полных квадратных уравнений. Они также тренируют составление математических моделей процессов, где величины связаны площадью, произведением или квадратом числа.

Что запомнить

• В квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент a не равен нулю.
• Неполное квадратное уравнение получается, если b = 0 или c = 0.
• Уравнение ax² = 0 при a ≠ 0 имеет корень x = 0.
• Уравнение ax² + bx = 0 решают вынесением x за скобки.
• В уравнении ax² + c = 0 число действительных корней зависит от знака −c/a.
• В задаче о реальном процессе найденные корни проверяют с учётом смысла величин.