"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Квадратное уравнение — это уравнение, в котором переменная стоит во второй степени: ax² + bx + c = 0. Такие уравнения используют для решения задач, связанных с движением, площадями, функциями и пересечением графиков. Главное — научиться распознавать вид уравнения, выбирать подходящий способ решения, вычислять дискриминант и находить все корни. После решения результат желательно проверить подстановкой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Буквы a, b и c называют коэффициентами, причём a — старший коэффициент. Условие a ≠ 0 сохраняет уравнению вторую степень.
Корень квадратного уравнения — значение переменной, которое превращает уравнение в верное равенство. Например, если после подстановки числа обе части имеют одинаковое значение, это число является корнем. Найти корни — значит найти все подходящие значения переменной.
Неполное квадратное уравнение — квадратное уравнение, в котором коэффициент b или свободный член c равны нулю. Из-за отсутствующего слагаемого такое уравнение часто решается проще полного. Обычно достаточно разложить выражение на множители или извлечь квадратный корень.
Дискриминант — выражение D = b² − 4ac, по которому определяют число корней квадратного уравнения. Его значение показывает, можно ли извлечь действительный квадратный корень и сколько решений получится. Дискриминант применяют прежде всего к полным уравнениям.
В записи ax² + bx + c = 0 коэффициент a не может быть нулём, потому что тогда исчезает слагаемое с x². Остаётся уравнение bx + c = 0, то есть линейное, а не квадратное. Поэтому условие a ≠ 0 является частью самого определения.
Неполные уравнения выделяют по отсутствующим слагаемым. В ax² + bx = 0 общий множитель x можно вынести за скобки, в ax² + c = 0 удобно оставить x² и извлечь корень, а в ax² = 0 сразу видно единственное значение x. Разные формы требуют разных действий, потому что в одной из них есть множители, а в другой — квадрат переменной.
Дискриминант получают из преобразования общего уравнения к виду с квадратом переменной: после выделения полного квадрата под корнем появляется выражение b² − 4ac. Если D положителен, квадратный корень √D существует и даёт два разных значения из-за знаков плюс и минус. При D = 0 оба значения совпадают, а при D < 0 действительного квадратного корня нет, поэтому действительных корней уравнения нет.
Для полного квадратного уравнения при D ≥ 0 используют формулу x = (−b ± √D)/(2a). Сначала находят D, затем отдельно выполняют действие со знаком плюс и со знаком минус. Полученные значения являются корнями, если все вычисления сделаны для исходных коэффициентов a, b и c.
Проверка подстановкой нужна потому, что ошибка могла появиться на любом этапе: при переписывании коэффициентов, вычислении D или сокращении дроби. Каждый найденный корень подставляют вместо x в исходное уравнение, а не только в промежуточную запись. Если равенство выполняется, соответствующий корень найден правильно.
| Вид уравнения | Условие | Основной способ решения | Число действительных корней |
|---|---|---|---|
| Полное квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 | b ≠ 0 и c ≠ 0 | Вычислить дискриминант и применить формулу корней | D > 0 — два, D = 0 — один, D < 0 — нет |
| Неполное уравнение ax² + bx = 0 | c = 0 | Вынести x за скобки и применить правило произведения | Один или два корня в зависимости от коэффициентов |
| Неполное уравнение ax² + c = 0 | b = 0 | Перенести свободный член и извлечь квадратный корень | Два, один или ни одного действительного корня |
| Неполное уравнение ax² = 0 | b = 0 и c = 0 | Разделить на a и получить x² = 0 | Один корень x = 0 |
Сначала сравните уравнение с видами в первом столбце и найдите отсутствующий коэффициент. Затем применяйте способ из третьего столбца, не забывая учитывать допустимые значения дискриминанта. Если уравнение подходит сразу под несколько строк, выбирайте самый простой способ.
В уравнении отсутствует слагаемое с x, значит, это неполное квадратное уравнение. Перенесём число −25 в правую часть, чтобы получить квадрат переменной. После этого нужно вспомнить, что квадрат числа равен 25 при двух противоположных значениях.
Ответ: x₁ = 5, x₂ = −5. Оба числа подходят, потому что 5² − 25 = 0 и (−5)² − 25 = 0.
Здесь присутствуют все три слагаемых, поэтому применяем формулу через дискриминант. Коэффициенты равны a = 2, b = −7, c = 3; знак минус перед 7 нужно сохранить при вычислении. Сначала определим число корней, а затем найдём каждый из них.
Ответ: x₁ = 3, x₂ = ½. Подстановка показывает, что оба значения превращают левую часть уравнения в ноль.
Это полное квадратное уравнение с коэффициентами a = 3, b = −6, c = 1. Дискриминант окажется неквадратным, поэтому корни запишем с радикалом и упростим его. Проверять удобнее через замену x = 1 + t, которая соответствует найденному виду корней.
Ответ: x₁ = 1 + √6/3, x₂ = 1 − √6/3. Проверка подтверждает оба корня.
Иногда принимают a = 0, хотя тогда исчезает x² и задача становится линейной. Такая ошибка возникает при невнимательном чтении определения; проверьте, что старший коэффициент действительно не равен нулю.
В дискриминанте часто теряют знак b или неправильно считают выражение −4ac. Ошибку предотвращает запись коэффициентов отдельно и вычисление в скобках: D = (b)² − 4 · a · c. Полезно повторно проверить результат арифметикой.
Некоторые подставляют формулу корней при D < 0 или забывают знак ±. Сначала определите знак дискриминанта, а при D ≥ 0 выпишите два действия со знаками плюс и минус. Так легче не потерять решение.
При разложении произведения на множители можно записать только один корень, а при извлечении корня забыть отрицательное значение. Используйте правило произведения и формулу x = ±√a. Число найденных корней сверяйте со знаком дискриминанта.
Для решения квадратных уравнений нужны навыки преобразования выражений, разложения многочленов на множители, решения линейных уравнений и извлечения квадратного корня. Эти уравнения встречаются в текстовых задачах, при исследовании квадратичной функции и поиске точек пересечения графиков. Дальше тема поможет изучать теорему Виета, квадратные неравенства и системы уравнений.
Почему коэффициент a в квадратном уравнении не может быть равен нулю?
Если a = 0, слагаемое ax² исчезает, и уравнение превращается в линейное: bx + c = 0. Поэтому оно уже не соответствует определению квадратного уравнения.
Как понять, какую формулу или способ выбрать для решения неполного уравнения?
Сначала посмотрите, каких слагаемых нет. Если c = 0, вынесите x за скобки; если b = 0, перенесите свободный член и извлеките квадратный корень; если b = 0 и c = 0, разделите уравнение на a.
Что означает отрицательный дискриминант?
Отрицательный дискриминант означает, что квадратный корень из D нельзя извлечь среди действительных чисел. Поэтому уравнение не имеет действительных корней.
Почему в формуле корней появляется знак ±?
Знак ± объединяет два возможных вычисления: одно со знаком плюс, другое со знаком минус. Они дают два корня, если D > 0, и один одинаковый корень, если D = 0.
Нужно ли всегда выполнять проверку найденных корней?
Проверка не всегда обязательна для записи решения, но она помогает обнаружить ошибки в знаках, вычислениях и преобразованиях. Особенно полезна проверка, если корни содержат дроби или радикалы.
§ 1. Квадратные уравнения
