"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Квадратный корень не всегда удаётся записать конечной десятичной дробью, поэтому его заменяют приближённым значением. Для этого находят числа, между которыми расположен корень, и постепенно уточняют границы: сначала до целых, затем до десятых, сотых и других разрядов. Главное — сравнивать с подкоренным числом квадраты границ и понимать, с недостатком или с избытком выполнено приближение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a: (√a)² = a. Подкоренное число должно быть неотрицательным, то есть a ≥ 0. Это условие сразу показывает, для каких чисел корень имеет смысл в обычных действительных числах.
Приближённое значение квадратного корня — число, которым заменяют точный корень с оговорённой точностью. Например, вместо бесконечной непериодической записи √7 можно использовать 2,6 до десятых. Такое значение нужно, когда точный результат нельзя удобно записать или вычислить.
Приближение с недостатком — число, меньшее искомого корня. Проверить это можно по квадрату: если b² ≤ a, то неотрицательное b не больше √a. Поэтому для √7 число 2,6 является приближением с недостатком, поскольку 2,6² = 6,76 < 7.
Приближение с избытком — число, большее искомого корня. Для проверки сравнивают квадраты: если c² ≥ a, то неотрицательное c не меньше √a. Например, 2,7 — приближение √7 с избытком, потому что 2,7² = 7,29 > 7.
Сначала для подкоренного числа находят соседние целые квадраты. Например, 25 < 30 < 36, то есть 5² < 30 < 6². Поскольку корень арифметический и неотрицательный, из этого следует 5 < √30 < 6. Такой первый интервал задаёт целую часть корня и служит основой для дальнейшего поиска.
Чтобы получить десятичные знаки, проверяют числа, отличающиеся на одну десятую. Если корень лежит между 2 и 3, сравнивают с 2,1; 2,2; 2,3 и так далее. Причина такого перебора в том, что квадрат каждого следующего числа показывает, пересекли ли мы искомое значение или ещё остаёмся ниже него.
После нахождения десятых переходят к сотым внутри уже полученного узкого интервала. Новый разряд выбирают так, чтобы квадрат нижней границы был не больше подкоренного числа, а квадрат верхней границы — больше него. Например, если 3,6 < √13 < 3,7, проверяют 3,61, 3,62 и следующие числа, пока не обнаружат нужное положение корня.
Запись результата должна показывать, что именно найдено. Число 3,60 может быть нижней границей, а 3,61 — верхней границей; округлённое значение при этом обычно записывают как 3,61 до сотых. Указание «с недостатком» или «с избытком» не даёт перепутать границу интервала с обычным округлением.
Точность оценки определяется шириной интервала между границами. Если известно, что 2,6 < √7 < 2,7, ширина равна 0,1, а при границах 2,64 и 2,65 она равна 0,01. Значит, более узкий интервал оставляет меньше неопределённости и даёт более точное представление о корне.
| Шаг оценки | Нижняя граница | Верхняя граница | Как проверить границы |
|---|---|---|---|
| Целые числа | Наибольшее целое m | Следующее целое n | Сравнить m² и n² с подкоренным числом |
| Десятые | Число с одной десятичной цифрой | Следующее число с десятыми | Возвести обе границы в квадрат |
| Сотые | Число с двумя десятичными цифрами | Следующее число с сотыми | Проверить, что нижний квадрат не больше, а верхний больше подкоренного числа |
| Следующий десятичный разряд | Уточнённая нижняя граница | Уточнённая верхняя граница | Повторить сравнение квадратов |
Пользуйтесь таблицей сверху вниз: каждый новый разряд уточняет предыдущий интервал. В каждой строке проверяйте не сами границы, а их квадраты. Если нижняя граница имеет квадрат не больше подкоренного числа, а верхняя — больший квадрат, границы выбраны правильно.
Нужно найти соседние целые числа, квадраты которых находятся по разные стороны от 30. Достаточно проверить квадраты 5 и 6, потому что 30 расположено между 25 и 36. После этого можно сделать вывод о положении корня.
Ответ: √30 находится между 5 и 6.
Сначала определим целую часть: 2² < 7 < 3², поэтому корень находится между 2 и 3. Затем проверим десятые и выберем наибольшее число, чей квадрат не превосходит 7. Именно наибольшее такое число даёт приближение с недостатком.
Ответ: √7 ≈ 2,6 с недостатком до десятых.
Начнём с целых: 3² = 9, 4² = 16, поэтому корень лежит между 3 и 4. Затем уточним интервал до десятых, а после этого — до сотых. На каждом шаге нужно проверять квадраты кандидатов.
Ответ: 3,60 < √13 < 3,61; с округлением до сотых √13 ≈ 3,61.
Сравнение не с квадратом. Иногда число 30 сравнивают с 5 или 6, хотя нужно сравнивать его с 5² и 6². Ошибка возникает из-за смешения корня и его значения; проверьте себя записью m² < a < n².
Неверное понимание недостатка. Число с меньшим количеством знаков после запятой не обязательно меньше корня. Нужно возвести его в квадрат и убедиться, что результат не превосходит подкоренное число.
Нижнюю границу принимают за точное значение. Например, из 2,6 < √7 нельзя заключить, что √7 = 2,6. Записывайте знак приближения и сохраняйте верхнюю границу, чтобы отличать оценку от точного равенства.
Точность определяют неправильно. Наличие двух знаков после запятой само по себе не доказывает точность до сотых. Проверьте ширину интервала: для сотых она должна быть 0,01.
До этой темы нужно знать определение арифметического квадратного корня и уметь находить квадраты целых и десятичных чисел. Также понадобятся сравнение чисел и понимание неравенств. Эти навыки позволяют быстро проверять границы.
Тема продолжает изучение десятичных дробей, сравнений чисел и оценки числовых выражений. При последовательном уточнении используются знакомые действия с десятыми, сотыми и другими долями. Поэтому аккуратная работа с разрядами напрямую влияет на результат.
Приближённые значения корней нужны в вычислениях, когда точный корень нельзя выразить конечной десятичной дробью. Они помогают выполнять практические расчёты и оценивать результаты. Чем уже найденный интервал, тем надёжнее такое вычисление.
Как понять, между какими целыми числами находится квадратный корень?
Найдите два соседних целых неотрицательных числа m и n, для которых m² < a < n². Тогда корень √a находится между ними: m < √a < n.
Почему для сравнения корня с числом нужно сравнивать их квадраты?
Квадратный корень определяется через квадрат: (√a)² = a. Поэтому для неотрицательных чисел сравнение √a с b равносильно сравнению a с b².
Как найти десятые и сотые в приближённом значении корня?
После нахождения целой части проверяют числа с десятыми: например, 3,6 и 3,7. Затем проверяют сотые внутри найденного интервала, каждый раз возводя границы в квадрат.
Чем приближение с недостатком отличается от приближения с избытком?
Приближение с недостатком меньше точного корня, а его квадрат не превосходит подкоренное число. Приближение с избытком больше корня, поэтому его квадрат больше подкоренного числа.
Как проверить, с какой точностью найден квадратный корень?
Нужно посмотреть на расстояние между нижней и верхней границами. Если оно равно 0,1, границы определены до десятых; если 0,01 — до сотых.
3.2.4. Приближенное вычисление квадратного корня
