3.2.3. График функции y = x^(1/2)

Определения и обозначения

Функция y = x^1/2, или y = √x, каждому допустимому значению x сопоставляет число √x. Это правило позволяет по выбранному x получить единственное значение y. Оно нужно, чтобы описывать зависимость между двумя величинами и строить её график.

Квадратный корень из неотрицательного числа x — это неотрицательное число, квадрат которого равен x. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9. Условие «неотрицательное» важно: запись √9 обозначает именно 3, а не два числа 3 и −3.

Область определения функции — это все значения аргумента x, при которых формула имеет смысл. Для выражения √x под корнем должно стоять неотрицательное число, поэтому допустимы x ≥ 0. Это определение помогает сразу понять, какие точки можно наносить на график.

График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых имеют вид (x; √x). Первая координата каждой точки — выбранное значение x, вторая — полученный корень. По графику можно видеть зависимость и находить значения одной величины по другой.

Как это устроено

Область определения начинается с нуля, потому что в действительных числах квадрат любого числа неотрицателен. Значит, отрицательное подкоренное выражение не может быть квадратом действительного числа, а √x для него не существует. Поэтому для построения и вычислений сначала проверяют условие x ≥ 0.

Чтобы получить точки графика, выбирают допустимые значения x и для каждого вычисляют √x. Особенно удобны числа, которые являются квадратами целых чисел: при x = 0, 1, 4, 9 получаются значения y = 0, 1, 2, 3. Так составляют пары координат (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), которые легко отметить на координатной плоскости.

Равенство y = √x можно возвести в квадрат: получится y² = x. Однако это уравнение само по себе описывает обе ветви параболы, потому что ему подходят и положительные, и отрицательные y. В исходной формуле квадратный корень неотрицателен, поэтому к графику функции относятся только точки с y ≥ 0 — верхняя ветвь.

При x = 0 значение функции равно нулю, поэтому график начинается в точке (0; 0); вычисления для 1, 4 и 9 дают точки (1; 1), (4; 2), (9; 3). Если x увеличивается, его неотрицательный квадратный корень тоже увеличивается: например, √4 меньше √9. Поэтому точки соединяют плавной линией, которая поднимается вправо, а не убывает.

Функции y = √x и y = x² при x ≥ 0 взаимно обратны: если для первой взять y, то для второй возведение этого числа в квадрат вернёт исходный x. У обратных функций координаты точек меняются местами: точке (a; b) соответствует (b; a). Поэтому их графики симметричны относительно прямой y = x.

Основные свойства функции y = √x

Сначала проверьте по таблице, допустимы ли выбранные x и могут ли полученные y быть отрицательными. Затем используйте удобные точки, чтобы наметить положение кривой. Если нужно проверить ответ по графику, помните: значение x читают по горизонтальной оси, а значение y — по вертикальной.

Разбор задач

Построить график функции y = √x, отметив значения x от 0 до 9 с шагом 1.

Нужно вычислить функцию для каждого целого x от 0 до 9. Не все значения корня будут целыми, поэтому для некоторых точек используем приближённые значения. Они помогут построить плавную кривую, а точки с точными корнями зададут её положение.

1. Составим значения: при x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 получаем y ≈ 0; 1; 1,41; 1,73; 2; 2,24; 2,45; 2,65; 2,83; 3.
2. Запишем пары (x; y) и нанесём их на координатную плоскость. Точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3) можно отметить точно, остальные — приблизительно.
3. Соединим точки плавной линией, которая начинается в начале координат и возрастает вправо. Не продолжаем её в область x < 0 или ниже оси Ox.

Приближения нужны для промежуточных точек, но не меняют форму графика: функция определена только при x ≥ 0 и возрастает. Ответ: график проходит через указанные точки и представляет собой плавную возрастающую кривую в области x ≥ 0, y ≥ 0.

Определить, принадлежит ли графику y = √x точка A(16; 4), а точка B(4; 16).

Точка принадлежит графику, если её ордината равна квадратному корню из абсциссы. Проверим обе пары координат подстановкой: отдельно вычислим значение функции при x из каждой точки и сравним с её y. Такой способ надёжнее, чем судить только по виду пары чисел.

1. Для A(16; 4): √16 = 4. Полученное значение совпало с ординатой точки, значит, A принадлежит графику.
2. Для B(4; 16): √4 = 2. Значение функции не равно 16, поэтому B графику не принадлежит.
3. Проверить вычисление корня можно возведением ответа в квадрат: 4² = 16, а 16² не равно 4.

В этой проверке важно не переставить координаты: под корнем находится абсцисса, а полученный корень сравнивается с ординатой. Ответ: точка A принадлежит графику, точка B не принадлежит.

По графику y = √x найти значения x, при которых y = 2, и определить, при каких x выполняется √x ≤ 3.

На графике каждой ординате соответствует точка кривой, а её абсцисса показывает нужное x. Для неравенства удобно определить, где график находится не выше горизонтальной линии y = 3. Затем проверим оба результата по свойствам квадратного корня.

1. Находим на оси Oy значение 2 и мысленно проводим горизонталь до графика. Она пересекает кривую при x = 4, что совпадает с вычислением 2² = 4.
2. Для √x ≤ 3 график должен лежать на уровне y = 3 или ниже него. Это выполняется от начала графика до точки (9; 3), то есть при 0 ≤ x ≤ 9.
3. Проверим алгебраически: обе части неотрицательны, поэтому можно возвести неравенство в квадрат и получить x ≤ 9. Также учитываем область определения x ≥ 0.

При чтении графика важно включать точку пересечения с линией y = 3: знак ≤ допускает равенство. Ответ: при y = 2 имеем x = 4; неравенство √x ≤ 3 выполняется при 0 ≤ x ≤ 9.

Типичные ошибки

• Ошибка — включать отрицательные x в область определения. Так делают, забывая, что квадратный корень из отрицательного числа не определён в действительных числах. Проверка простая: значение под корнем должно быть не меньше нуля.

• Ошибка — строить точки с отрицательными y, будто у корня есть два знака. Путаница возникает из-за уравнения y² = x, которому действительно соответствуют два значения y при x > 0. Проверьте точку по исходной формуле: √x обозначает только неотрицательное значение.

• Ошибка — считать графиком y = √x всю параболу y² = x. При переходе к уравнению забывают условие y ≥ 0 и добавляют лишнюю нижнюю ветвь. Самопроверка: подставьте координату точки в исходную функцию и убедитесь, что ордината неотрицательна.

• Ошибка — путать координаты точки или считать √x равным x/2. Это происходит, если не проверять результат вычисления. Подставьте абсциссу под корень и возведите ответ в квадрат: квадрат найденного неотрицательного числа должен равняться x.

Связь с другими темами

Для изучения функции нужны определение квадратного корня, условие его существования в действительных числах и умение находить корни квадратов целых чисел. График связан с параболой y = x²: на неотрицательных значениях аргумента функции y = √x и y = x² обратны, а их графики симметричны относительно y = x. Эти знания пригодятся при преобразовании графиков и решении уравнений и неравенств с квадратными корнями.

Что запомнить

• Функция y = √x определена только при x ≥ 0.
• Значения функции y = √x неотрицательны.
• График начинается в точке (0; 0) и проходит через точки (1; 1), (4; 2), (9; 3).
• График y = √x — верхняя ветвь параболы y² = x.
• Функция y = √x возрастает на всей области определения.
• Графики y = √x и y = x² при x ≥ 0 симметричны относительно прямой y = x.