3.2.2. Преобразование выражений с корнями

Определения и обозначения

Арифметический квадратный корень √a — неотрицательное число, квадрат которого равен a; выражение определено при a ≥ 0. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9, а значение −3 не подходит: арифметический корень не бывает отрицательным. Это определение помогает проверять допустимость выражений и не путать корень с решением уравнения x² = a, у которого иногда два корня.

Подкоренное выражение — выражение, стоящее под знаком корня. Для квадратного корня оно должно быть неотрицательным, иначе арифметический корень в действительных числах не определён. Например, в √(x − 2) нужно, чтобы x − 2 ≥ 0, то есть x ≥ 2. Проверка этого условия нужна, чтобы преобразования оставались верными для допустимых значений переменных.

Вынесение множителя из-под знака корня — представление подкоренного выражения в виде произведения, из которого можно извлечь корень из полного квадрата. Полный квадрат — число или выражение вида t², например 4 или x². Так, √12 = √(4 · 3) = 2√3. При переменных учитывают модуль: √(x²) = |x|.

Внесение множителя под знак корня — преобразование множителя перед корнем в множитель подкоренного выражения с учётом его знака. Если c ≥ 0 и a ≥ 0, то c√a = √(c²a), потому что после возведения c в квадрат значение не меняется. Это удобно, например, чтобы привести несколько корней к одинаковому подкоренному выражению. Отрицательный множитель нельзя вносить, забывая минус.

Как это устроено

Равенство √(a²) = |a| следует из определения арифметического корня. Числа a и −a имеют одинаковый квадрат, но корнем из a² должно быть именно неотрицательное число. Модуль |a| как раз равен неотрицательному числу, полученному из a: если a ≥ 0, то |a| = a, а если a < 0, то |a| = −a. Поэтому заменять √(a²) на a можно только при заранее известном условии a ≥ 0.

При неотрицательных a и b произведение √a · √b также неотрицательно, а его квадрат равен ab: (√a · √b)² = ab. Значит, это арифметический квадратный корень из ab, то есть √a · √b = √(ab). Для частного при a ≥ 0 и b > 0 обе части √(a/b) = √a/√b неотрицательны и их квадраты равны a/b. Условие b > 0 нужно, чтобы деление было определено и знаменатель не был равен нулю.

Чтобы вынести множитель, подкоренное выражение раскладывают на полный квадрат и оставшуюся часть. Если a²b ≥ 0 и b ≥ 0, то √(a²b) = √(a²) · √b = |a|√b. Например, в √(36 · 5) число 36 — полный квадрат, поэтому получаем 6√5. Модуль возникает именно при извлечении корня из квадрата переменной, а для числового множителя 6 он равен самому числу.

Внесение множителя проверяется возведением его в квадрат: при c ≥ 0 и a ≥ 0 выражение c√a неотрицательно, а его квадрат равен c²a. Поэтому c√a = √(c²a). Если множитель отрицателен, его знак сохраняют отдельно: −c√a = −√(c²a) при c ≥ 0. Подстановка отрицательного числа под корень сама по себе не передаёт знак исходного выражения.

Упрощая корни, сначала находят внутри подкоренного выражения полный квадрат, а затем выносят его корень. После этого радикалы с одинаковым подкоренным выражением становятся подобными: складывать или вычитать можно их коэффициенты. Например, 2√3 + 5√3 = 7√3. Если подкоренные выражения различны, сначала проверяют, можно ли упростить корни до одинаковых; складывать сами числа под корнем нельзя.

Основные преобразования выражений с квадратными корнями

Используй таблицу как памятку: сначала проверь условия в правом столбце, затем выбери подходящее преобразование. При упрощении ищи полный квадрат, а при сложении сначала приводи радикалы к одинаковому подкоренному выражению.

Разбор задач

Задача 1. Упростить выражение √12 + √27. Оба подкоренных числа можно разложить на произведение полного квадрата и оставшегося множителя. После вынесения квадратных корней получатся радикалы с одинаковым подкоренным числом, и их коэффициенты можно будет сложить.

1. Разложим числа: 12 = 4 · 3, 27 = 9 · 3.
2. Вынесем корни из полных квадратов: √12 = 2√3, √27 = 3√3.
3. Сложим коэффициенты у одинаковых радикалов: 2√3 + 3√3 = 5√3.

Ответ: 5√3. Здесь нельзя было складывать 12 и 27 под одним знаком корня: свойство объединения корней относится к умножению, а не к сложению. После упрощения оба радикала имеют одинаковую часть √3, поэтому сложение коэффициентов законно.

Задача 2. Упростить выражение √(75/3) − 2√12. В первом корне сначала удобно выполнить деление под знаком корня, получив √25. Во втором корне нужно найти полный квадрат и вынести его. Затем выражения можно вычитать, потому что они станут подобными радикалами.

1. Упростим частное под корнем: √(75/3) = √25 = 5.
2. Разложим 12 на множители: √12 = √(4 · 3) = 2√3.
3. Умножим вынесенный коэффициент: 2√12 = 2 · 2√3 = 4√3.
4. Запишем результат: 5 − 4√3. Слагаемые здесь не подобны, поэтому объединить их нельзя.

Ответ: 5 − 4√3. Обычное число 5 и радикал 4√3 — разные слагаемые, поэтому результат оставляют в таком виде. Проверка условий показывает, что подкоренные числа положительны, а деление на 3 допустимо.

Задача 3. При a < 0 упростить выражение √(a²) + √(9a²). В каждом корне есть полный квадрат с переменной, поэтому при извлечении появится модуль. Затем используем условие a < 0: оно позволяет заменить |a| на −a. Нельзя сразу считать, что корень из a² равен a.

1. Извлечём корни из квадратов: √(a²) = |a|, а √(9a²) = 3|a|.
2. Так как a < 0, получаем |a| = −a.
3. Подставим это в выражение: |a| + 3|a| = −a − 3a = −4a.

Ответ: −4a. Он положителен при a < 0, что согласуется с тем, что исходное выражение складывает два неотрицательных корня. Если бы вместо модуля сразу написать a, знак результата мог бы оказаться неверным.

Типичные ошибки

Записывают √(a²) = a при любом a, забывая про модуль. Так делают, потому что возведение в квадрат и извлечение корня кажутся обратными действиями, но арифметический корень всегда неотрицателен. Проверка на a = −2 сразу показывает ошибку: √4 = 2, а не −2. Правильная запись — √(a²) = |a|.

Применяют правило произведения или частного корней, не проверив подкоренные выражения и знаменатель. Формулы требуют допустимых значений: для частного знаменатель должен быть положительным, а значит, не равным нулю. Ошибка может сделать выражение неопределённым или привести к неверному равенству. Перед преобразованием проверь, что под каждым корнем стоит неотрицательное выражение и деление допустимо.

Складывают корни по правилу √a + √b = √(a + b). Это правило путают со свойством произведения, хотя сложение под один знак корня объединять нельзя. Например, √2 + √3 не равно √5: можно сравнить их приближённые значения. Проверяй, какое действие стоит между корнями: объединять их разрешается при умножении, а при сложении сначала ищут подобные радикалы.

Вносят отрицательный множитель под знак корня по формуле c√a = √(c²a) и теряют минус. Формула в таком виде применима к неотрицательному c, потому что арифметический корень не может сохранить отрицательный знак множителя. Например, −2√3 нельзя заменить на √12: первое выражение отрицательно, второе положительно. Чтобы проверить преобразование, сравни знак исходного выражения и результата.

Связь с другими темами

Для работы с корнями нужно знать их определение и условие существования: подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Также пригодятся свойства степеней с натуральными показателями, например равенство a² = a · a: оно помогает находить полный квадрат под корнем. Эти знания позволяют не только выполнить преобразование, но и проверить его допустимость.

Упрощённые радикалы помогают решать уравнения и неравенства, приводить алгебраические выражения к удобному виду и вычислять их значения. В уравнениях особенно важно учитывать, при каких значениях переменной корень определён. При вычислениях вынесение полного квадрата делает выражение проще, а приведение подобных радикалов сокращает запись.

Что запомнить

• Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.
• √(a²) = |a|.
• Произведение корней можно объединять под один корень при допустимых значениях множителей.
• При вынесении множителя из-под корня учитывают его модуль.
• Под корнем сначала ищут множитель, являющийся полным квадратом.
• Складывать и вычитать можно только подобные радикалы.