"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Арифметический квадратный корень из числа — неотрицательное число, квадрат которого равен данному числу. Он помогает находить неизвестные стороны фигур, решать уравнения и упрощать выражения. Знак √ всегда обозначает только неотрицательный корень, поэтому √a² равно модулю a, а не обязательно самому a. Для произведения и частного есть удобные правила, но применять их можно лишь при соблюдении условий на числа под знаком корня и знаменатель.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Его записывают √a и читают «квадратный корень из a». Например, √25 = 5, потому что 5² = 25. Это определение помогает перейти от известного квадрата к числу, которое его возвело в квадрат.
Выражение, записанное под знаком корня, называется подкоренным выражением. Для арифметического квадратного корня оно должно принимать неотрицательное значение. Например, в √(x − 2) подкоренное выражение — x − 2, поэтому для действительных значений корня нужно x − 2 ≥ 0. Проверка этого условия показывает, при каких значениях переменной запись имеет смысл.
Квадратным корнем числа a называют число, квадрат которого равен a, а арифметическим квадратным корнем — именно неотрицательный такой корень. При a > 0 уравнение x² = a имеет два решения: √a и −√a. Например, квадратными корнями числа 9 являются 3 и −3, но √9 = 3. Это различие нужно, чтобы не путать знак корня с решением уравнения.
Запись √a² означает арифметический корень из квадрата числа a и равна |a|, то есть модулю a. Модуль показывает расстояние числа от нуля и не бывает отрицательным. Например, √(−4)² = √16 = 4, а не −4. Поэтому при упрощении выражений с квадратом под корнем нельзя автоматически убирать знак корня и оставлять исходное число.
Арифметический корень рассматривают только для a ≥ 0, потому что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Если a < 0, невозможно найти действительное число, квадрат которого равен a. При a = 0 получаем √0 = 0, а при a > 0 корень положителен, поскольку его квадрат должен быть положительным. Во всех допустимых случаях √a ≥ 0 по самому определению арифметического корня.
Пусть a ≥ 0 и b ≥ 0. Числа √a и √b существуют и неотрицательны, поэтому их произведение тоже неотрицательно; при этом (√a · √b)² = a · b. Значит, это произведение является арифметическим корнем числа ab, то есть √(ab) = √a · √b. Неотрицательность важна: именно она позволяет выбрать арифметический корень, а не его противоположное число.
Для a ≥ 0 и b > 0 обе части правила для частного имеют смысл, а √b не равно нулю. Квадрат дроби √a/√b равен a/b, поскольку (√a)² = a и (√b)² = b. Дробь √a/√b неотрицательна, поэтому она и есть арифметический корень из a/b: √(a/b) = √a/√b. Условие b > 0 исключает деление на ноль и нулевой знаменатель после извлечения корня.
Чтобы понять формулу √a² = |a|, надо учесть знак a. Если a ≥ 0, то |a| = a, и √a² = √a² = a; здесь последнее равенство верно, потому что a неотрицательно. Если a < 0, число −a положительно, а его квадрат совпадает с a², поэтому арифметический корень равен −a. В обоих случаях результат можно записать одной формулой: √a² = |a|.
Корень нельзя в общем случае распределять по сумме или разности, потому что квадрат суммы содержит дополнительное слагаемое: (√a + √b)² = a + b + 2√a√b. Поэтому этот квадрат обычно не равен a + b. Например, √(9 + 16) = √25 = 5, тогда как √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Значит, правила для произведения и частного нельзя переносить на сложение и вычитание.
| Запись или свойство | Условия | Что означает |
|---|---|---|
| √a | a ≥ 0 | Неотрицательное число, квадрат которого равен a |
| √(ab) = √a · √b | a ≥ 0, b ≥ 0 | Корень произведения равен произведению корней |
| √(a/b) = √a/√b | a ≥ 0, b > 0 | Корень частного равен частному корней |
| √a² = |a| | Любое действительное a | Корень из квадрата числа равен его модулю |
Сначала проверь условия во втором столбце: без них формулой пользоваться нельзя. Затем выбери строку, соответствующую выражению, и преобразуй его по третьему столбцу. Например, для корня частного отдельно убедись, что знаменатель положителен.
Условие: вычислить арифметический квадратный корень из 81 и проверить знак ответа. По определению нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен 81. Числа 9 и −9 действительно имеют такой квадрат, но знак √ выбирает только одно из них. Поэтому нужно проверить и квадрат, и требование неотрицательности.
Ответ: √81 = 9. Число −9 является вторым решением уравнения x² = 81, но не значением арифметического корня. Различать эти записи полезно при решении уравнений: знак корня задаёт неотрицательный результат, а уравнение может иметь два решения.
Условие: найти корень из произведения 16 и 25. Оба множителя неотрицательны, значит, можно использовать свойство корня произведения. Сначала разложим выражение на корни меньших чисел, а затем проверим итог, возведя его в квадрат. Такая проверка подтверждает не только вычисление, но и то, что найдено число с нужным квадратом.
Ответ: √(16 · 25) = 20. Проверка показывает, что квадрат результата равен подкоренному выражению, а число 20 неотрицательно. Если бы среди множителей оказалось отрицательное число, применять свойство в действительных числах без дополнительной проверки было бы нельзя.
Условие: упростить выражение √(x − 2)² и найти, при каких x оно определено. Под корнем находится квадрат выражения x − 2, а квадрат неотрицателен при любом действительном x. Поэтому ограничений на x нет. Для упрощения используем правило √a² = |a|, подставив вместо a выражение x − 2.
Ответ: ОДЗ — все действительные x; √(x − 2)² = |x − 2|, то есть x − 2 при x ≥ 2 и 2 − x при x < 2. При x = 2 оба случая дают ноль. Разбор по знаку нужен, если требуется убрать модуль и записать ответ без него.
Ошибка: считать, что √a может быть отрицательным, потому что уравнение x² = a имеет два корня. Так смешивают решение уравнения со значением арифметического корня. Проверка: знак √ всегда означает неотрицательное число, а второе решение уравнения записывают как −√a.
Ошибка: заменять √a² на a без проверки его знака. Так поступают, когда механически сокращают возведение в квадрат и извлечение корня, забывая, что результат корня неотрицателен. Если a < 0, правильное значение — |a| = −a; проверить себя можно на примере a = −3: √(−3)² = 3.
Ошибка: распределять корень по сумме или разности, например писать √(a + b) = √a + √b. Такое правило неверно, потому что квадрат суммы содержит добавочное слагаемое 2√a√b. Проверка на числах: √(9 + 16) = 5, но √9 + √16 = 7. Для произведения и частного существуют отдельные правила, но не для сложения и вычитания.
Ошибка: применять правила корня произведения или частного, не проверив допустимость выражений. В результате можно получить корень из отрицательного числа или поделить на ноль. Перед преобразованием проверь, что подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатель положителен для формулы корня частного. Если хотя бы одно условие не выполнено, формула в таком виде неприменима.
Для работы с квадратными корнями нужны знания о квадратах целых и рациональных чисел: определение корня опирается на обратный вопрос о возведении в квадрат. Также пригодится модуль числа, потому что √a² равен |a|, а не всегда a. При решении уравнений и неравенств с квадратами важно помнить, что уравнение может иметь два корня, тогда как знак √ задаёт только неотрицательный.
Свойства корней помогают упрощать выражения и преобразовывать дроби, если соблюдены условия на подкоренные выражения и знаменатель. Они применяются и в задачах, где по площади квадрата находят длину его стороны: сторона неотрицательна, поэтому выбирают арифметический корень. Эти знания пригодятся в следующих темах о выражениях и уравнениях с квадратными корнями.
Почему у положительного числа два квадратных корня, а знак √ обозначает только один?
Уравнение x² = a при a > 0 имеет два решения: √a и −√a, потому что квадраты этих чисел равны a. Знак √ по определению обозначает только арифметический, то есть неотрицательный, корень.
Может ли арифметический квадратный корень быть отрицательным?
Нет, арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. Отрицательное число может быть решением уравнения x² = a, но его записывают со знаком минус перед √a.
Почему √(−4) не является действительным числом?
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому он не может равняться −4. Значит, среди действительных чисел нет числа, которое было бы квадратным корнем из −4.
Когда можно вынести множители из-под знака корня?
Например, √(ab) = √a · √b можно использовать, если a ≥ 0 и b ≥ 0. Если множитель записан как квадрат, то √a² = |a|: под корнем появляется модуль, чтобы результат оставался неотрицательным.
Почему √x² равно |x|, а не просто x?
Арифметический корень не может быть отрицательным. Если x ≥ 0, то |x| = x, а если x < 0, то |x| = −x; поэтому в обоих случаях √x² = |x|.
3.2.1. Арифметический квадратный корень и его свойства
