"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Квадратный корень помогает найти число, которое при умножении на себя даёт заданное число. У положительного числа два квадратных корня: противоположные числа с одинаковым квадратом. Знак √ обозначает не оба корня, а только арифметический квадратный корень — неотрицательное число. Поэтому под знаком радикала в действительных числах может стоять только неотрицательное выражение. Эти понятия нужны, чтобы решать уравнения, упрощать выражения и находить длины сторон по теореме Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный корень из числа a — число, квадрат которого равен a. Например, 5 и −5 — квадратные корни из 25, потому что 5² = 25 и (−5)² = 25. Это определение помогает перейти от вопроса «какое число возвели в квадрат?» к уравнению x² = a.
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — неотрицательное число, квадрат которого равен a; его обозначают √a. Из двух корней положительного числа выбирают именно неотрицательный, поэтому √25 = 5, а не −5. Такое уточнение позволяет знаку √ всегда обозначать одно определённое число.
Подкоренное выражение — выражение, записанное под знаком радикала, например a в записи √a или x + 1 в записи √(x + 1). Для арифметического квадратного корня его значение должно быть неотрицательным. Это условие нужно проверять, когда радикал содержит не одно число, а выражение с переменной.
Задача найти число, квадрат которого равен заданному a, записывается как уравнение x² = a. Если a положительно, найдётся положительное число, квадрат которого равен a, и число, противоположное ему: их квадраты одинаковы, потому что при возведении в квадрат знак исчезает. Например, уравнение x² = 16 имеет решения 4 и −4.
У положительного числа два квадратных корня, но в обозначении √a оставляют только неотрицательный. Причина в том, что одному знаку радикала нужно соответствовать одному значению: иначе запись была бы неоднозначной. Поэтому два решения уравнения записывают как x = ±√a, а равенство √a = b означает только неотрицательное значение b.
Арифметический корень в действительных числах определён только при a ≥ 0. Квадрат положительного или отрицательного числа неотрицателен, так как перемножаются два числа одного знака; квадрат нуля равен нулю. Значит, ни одно действительное число не может иметь квадрат −4, и запись √(−4) не задаёт действительное число.
Проверка корня опирается на его определение: если предполагается, что √a = b, нужно убедиться, что b неотрицательно и b² = a. Одной проверки квадрата недостаточно: например, (−3)² = 9, но √9 = 3, а не −3. Так одновременно проверяют и величину корня, и правильный знак.
Если под корнем стоит полный квадрат — число, полученное возведением целого числа в квадрат, — корень часто можно найти точно: например, √49 = 7. Если число не является полным квадратом, его корень может быть нецелым, и точный ответ удобно оставить в виде радикала, например √2. Приближённое значение можно найти отдельно, но оно не заменяет точную запись.
| Что рассматриваем | Квадратные корни числа a | Арифметический квадратный корень |
|---|---|---|
| Условие на число a | Для действительных корней необходимо a ≥ 0. | Определён при a ≥ 0. |
| Какие числа являются корнями при a > 0 | √a и −√a. | √a — неотрицательный из двух корней. |
| Сколько значений рассматривается | Два при a > 0; один при a = 0. | Одно при любом a ≥ 0. |
| Знак значения | У корней положительного числа знаки разные. | Всегда неотрицательный. |
| Обозначение | ±√a при записи обоих корней уравнения x² = a. | √a. |
Сравнивайте сначала условие на a, затем число значений и знак: так проще не спутать корни уравнения с результатом извлечения корня. Строка «Обозначение» особенно полезна при записи ответа к уравнению x² = a. При a = 0 оба корня совпадают, потому что 0 и противоположное ему число — одно и то же.
Задача 1. Найдите все квадратные корни числа 49 и отдельно укажите арифметический квадратный корень из 49. Нужно различить решения уравнения x² = 49 и значение, которое обозначает знак радикала. В обоих случаях проверяем результат возведением в квадрат.
Ответ: квадратные корни — 7 и −7; арифметический квадратный корень — 7.
Задача 2. Вычислите √0, √(1/9) и √2; проверьте каждое значение по определению. Ищем неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Для √2 целого точного значения нет, поэтому оставляем радикал.
Ответ: 0; 1/3; √2.
Задача 3. Решите уравнения x² = 20 и x² = −4, объяснив число корней. В первом уравнении правая часть положительна, поэтому подходят два противоположных числа. Во втором квадрат действительного числа должен был бы быть отрицательным, что невозможно.
Ответ: для первого уравнения два корня, √20 и −√20; для второго действительных корней нет.
Ошибка: записывать √a = ±b. Знак ± нужен, когда перечисляют два решения уравнения x² = a, а радикал √a обозначает только неотрицательное число; эту путаницу допускают, смешивая две разные записи. Проверьте себя условиями b ≥ 0 и b² = a: только тогда √a = b.
Ошибка: считать, что уравнение x² = a при a > 0 имеет один корень. Если число b подходит, то −b тоже подходит, потому что b² = (−b)²; один ответ часто записывают по привычке, не учитывая противоположное число. Для проверки подставьте оба значения в уравнение.
Ошибка: извлекать квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах. Такое действие невозможно, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен; знак минус под корнем иногда ошибочно считают просто частью ответа. Перед вычислением проверьте, что подкоренное выражение не меньше нуля.
Ошибка: считать, что √(a²) = a при любом a. Если a отрицательно, то и само число a не может быть арифметическим корнем, ведь он неотрицателен; поэтому √(a²) = |a|. Проверяйте знак переменной: при a = −3 получаем √(a²) = 3, а не −3.
Для работы с квадратными корнями нужны навыки возведения чисел в квадрат, понимание противоположных чисел и умение решать простейшие уравнения вида x² = a. Без этих знаний легко перепутать значение радикала с двумя решениями уравнения. Освоенный квадратный корень пригодится при решении квадратных уравнений и упрощении выражений.
Корни также встречаются в геометрии: по теореме Пифагора можно найти длину стороны прямоугольного треугольника, если известны две другие. Полученное число иногда записывают с радикалом, когда точное значение не является целым. Поэтому умение работать с корнями связывает алгебраические вычисления с задачами о длинах.
Почему у числа 9 два квадратных корня, а √9 равно только 3?
И 3, и −3 при возведении в квадрат дают 9, поэтому квадратных корней два. Запись √9 обозначает только арифметический, то есть неотрицательный, корень: √9 = 3.
Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа?
В действительных числах нельзя: квадрат любого действительного числа неотрицателен. Поэтому, например, уравнение x² = −4 не имеет действительных решений.
Чем квадратный корень отличается от арифметического квадратного корня?
Квадратными корнями положительного числа a называют два числа: √a и −√a. Арифметический квадратный корень — только неотрицательное из них, обозначаемое √a.
Как проверить, правильно ли найден квадратный корень?
Возведи найденное значение в квадрат и сравни результат с подкоренным числом. Для арифметического корня дополнительно проверь, что значение неотрицательное.
Почему √(a²) не всегда равно a?
Арифметический корень не может быть отрицательным, даже если a отрицательно. Поэтому √(a²) = |a|: результат равен самому a при a ≥ 0 и числу −a при a < 0.
§ 2. Квадратный корень
