3.1.3. Кусочно-заданные функции

Определения и обозначения

Кусочно-заданная функция — функция, значение которой задаётся разными формулами на разных частях области определения. Например, одна формула может работать при x < 1, а другая — при x ≥ 1. Такое описание помогает точно передать поведение величины, если один закон не подходит для всех значений аргумента.

Участок задания — часть области определения, на которой действует одна из формул функции. Участками могут быть промежутки, например x < 0 и x ≥ 0. Понимание участков нужно, чтобы не применять формулу там, где она не задана.

Условие выбора формулы — указание, при каких значениях аргумента нужно использовать соответствующее правило. Оно записывается рядом с формулой в виде неравенства или другого условия. По этому условию выбирают формулу для вычисления значения функции.

Граница участков — значение аргумента, при переходе через которое может измениться формула задания функции. Например, в условиях x < 2 и x ≥ 2 границей является число 2. Знаки неравенств показывают, как распределяется граница между участками.

Как это устроено

Кусочное задание нужно, когда один закон не описывает поведение величины на всей области определения. Например, плата за поездку может быть одной при расстоянии до 5 км и другой после превышения этого расстояния. Разные формулы позволяют учесть такие изменения без составления одной сложной формулы.

Формулы связывают с условиями на аргумент, потому что именно значение x определяет, какое правило действует. Для каждого допустимого x должно находиться ровно одно подходящее условие. Если одно значение попадает сразу в два участка, функция может получить два значения, а это уже не будет функцией.

Область определения находят, объединяя все указанные участки и учитывая, включены ли их граничные значения. Например, условия x < 1 и x ≥ 1 вместе охватывают все действительные числа. Если же некоторое значение не включено ни в один участок, оно не принадлежит области определения.

Чтобы вычислить значение функции, сначала определяют, какому условию удовлетворяет аргумент, и только затем подставляют его в нужную формулу. Такой порядок защищает от случайного выбора первого правила. Особенно внимательно проверяют числа, равные границам участков.

График строят по частям: на каждом участке изображают график соответствующей формулы, а на границах отмечают, включены ли точки в график. Закрашенная точка означает, что значение входит в участок, незакрашенная — что не входит. Формулу нельзя продолжать за пределы её условия.

Как читать и задавать кусочно-заданную функцию

Таблица помогает разделить работу на отдельные шаги. Двигайтесь по строкам сверху вниз: сначала найдите нужное правило, затем проверьте границы и область определения, а после этого выполняйте вычисление или построение.

Разбор задач

Задача 1. Функция задана так: f(x) = x + 2 при x < 1 и f(x) = 3x при x ≥ 1. Найдём f(0) и f(2). Для каждого аргумента сначала проверим условие, а затем выберем формулу.

1. Число 0 удовлетворяет условию 0 < 1, поэтому f(0) = 0 + 2 = 2.
2. Число 2 удовлетворяет условию 2 ≥ 1, поэтому f(2) = 3 · 2 = 6.

Ответ: f(0) = 2, f(2) = 6. Подставлять оба числа в одну формулу нельзя, потому что они находятся на разных участках.

Задача 2. Для функции f(x) = −1 при x < 0 и f(x) = 2 при x ≥ 0 составим таблицу значений для x = −2, 0 и 3 и опишем график. Отрицательное число относится к первому участку, а ноль и положительное число — ко второму.

1. При x = −2 выполняется x < 0, поэтому f(−2) = −1.
2. При x = 0 выполняется x ≥ 0, поэтому f(0) = 2.
3. При x = 3 выполняется x ≥ 0, поэтому f(3) = 2.
4. На графике проводим горизонтальную часть y = −1 при x < 0 с незакрашенной точкой в (0; −1), а часть y = 2 при x ≥ 0 — с закрашенной точкой в (0; 2).

Ответ: значения равны −1, 2 и 2 соответственно. Граница x = 0 входит только во второй участок.

Задача 3. Функция задана так: f(x) = 2x + 1 при x < 2 и f(x) = x + 3 при x ≥ 2. Найдём все x, для которых f(x) = 5, решая уравнение отдельно на каждом участке.

1. На первом участке 2x + 1 = 5, откуда 2x = 4 и x = 2. Но x = 2 не удовлетворяет условию x < 2, поэтому этот корень исключаем.
2. На втором участке x + 3 = 5, откуда x = 2. Число 2 удовлетворяет условию x ≥ 2.

Ответ: x = 2. Один и тот же результат может получиться при вычислениях на разных участках, но окончательно его оставляют только после проверки условия.

Типичные ошибки

Подстановка в первую формулу без проверки условия. Так происходит, когда ученик воспринимает формулы как обычный список и не смотрит на промежутки. Проверьте себя: перед вычислением отдельно запишите, какому неравенству удовлетворяет аргумент.

Неправильная работа с границей. Иногда граничное значение относят сразу к двум участкам или не относят ни к одному. Сверяйте знак: при x ≥ a число a включено, а при x > a — нет.

Продолжение графика за пределы участка. Ученик может построить всю прямую, забыв об ограничении формулы. Проверьте, что каждая часть графика нарисована только там, где выполняется её условие.

Непроверенный корень уравнения. Решение формулы ещё не гарантирует, что найденное число подходит функции. Подставьте корень в условие именно того участка, на котором решали уравнение.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь подставлять числа в формулу функции, находить область определения и строить графики простейших функций. Эти навыки нужны, потому что кусочная функция объединяет несколько знакомых правил.

Кусочное задание пригодится при изучении модуля, графиков функций и математических моделей с разными правилами на разных промежутках. Оно помогает описывать реальные ситуации, где поведение величины меняется после достижения определённой границы.

Что запомнить

• Формула функции выбирается по значению аргумента.
• Каждое допустимое значение аргумента должно попадать хотя бы в один участок задания.
• Одному значению аргумента соответствует только одно значение функции.
• Граничные значения проверяют с учётом знаков неравенств.
• График строят отдельно на каждом участке.
• Корни, найденные на участке, проверяют по условию этого участка.