3.1.2. Обратная пропорциональность и ее график

Определения и обозначения

Обратная пропорциональность — зависимость, задаваемая формулой y = k/x, где x ≠ 0 и k ≠ 0. Это значит, что каждому допустимому значению x соответствует значение y, которое можно вычислить делением k на x. Формула помогает описывать ситуации, в которых одна величина меняется так, чтобы произведение двух величин сохранялось.

Коэффициент обратной пропорциональности — число k в формуле y = k/x; произведение соответствующих значений x и y равно этому числу. Действительно, если обе части формулы умножить на x, получится xy = k. По этому свойству можно найти коэффициент, если известна точка графика, или проверить, относится ли точка к заданной зависимости.

График обратной пропорциональности — гипербола, состоящая из двух ветвей и изображающая зависимость y = k/x. Ветвями называют две отдельные части кривой, расположенные по разные стороны от начала координат. График наглядно показывает, как изменяется y при изменении x, и позволяет сравнивать зависимости с разными коэффициентами.

Как это устроено

Если произведение величин постоянно и равно k, записывают xy = k. Чтобы выразить y, делят обе части равенства на x и получают y = k/x. Деление возможно только при x ≠ 0, поэтому ноль нельзя включить в область определения; кроме того, k не равен нулю, иначе формула не задавала бы обратную пропорциональность с ненулевыми значениями.

При k > 0 дробь k/x положительна, когда x положителен, и отрицательна, когда x отрицателен. Значит, x и y имеют одинаковые знаки: положительные координаты дают точки в I четверти, а отрицательные — в III. Поэтому обе ветви гиперболы располагаются в этих четвертях.

При k < 0 числитель отрицателен, поэтому знак дроби противоположен знаку x. Если x положителен, y отрицателен, а если x отрицателен, y положителен. В первом случае точки находятся в IV четверти, во втором — во II, так что ветви располагаются именно там.

Чтобы построить график, выбери несколько ненулевых значений x, для каждого вычисли y = k/x и отметь полученные точки на координатной плоскости. Удобно брать такие x, при которых деление выполняется без сложных дробей, и проверять точки подстановкой в формулу. Затем плавно проведи через точки две ветви: чем больше |x|, тем меньше |y|, поэтому точки удаляются от начала координат вдоль осей, но осей не достигают.

Если сравнивать функции с разными k, знак коэффициента показывает, в каких четвертях будут ветви, а модуль |k| — насколько далеко они расположены от осей. При одинаковом x увеличение |k| увеличивает |y|, поэтому соответствующая точка поднимается выше или опускается ниже. При уменьшении |k| значения |y| становятся меньше, и ветви располагаются ближе к осям.

Свойства функции y = k/x

Сначала определи знак коэффициента: по нему можно сразу выбрать четверти, в которых нужно искать ветви. Затем проверь допустимость значения x и вычисли y по формуле. Строка о произведении позволяет проверить найденные координаты: xy должно равняться k.

Разбор задач

Задача 1. Для зависимости y = 12/x найдите y при x = 3 и x = −4. Нужно подставить каждое значение в формулу, не забывая, что деление на отрицательное число даёт отрицательный результат. После вычислений проверим постоянство произведения координат.

1. При x = 3 получаем y = 12/3 = 4.
2. При x = −4 получаем y = 12/(−4) = −3.
3. Проверяем: 3 · 4 = 12 и (−4) · (−3) = 12.

Ответ: при x = 3 значение y равно 4, а при x = −4 значение y равно −3. Оба результата подходят, потому что произведение x и y равно коэффициенту 12.

Задача 2. Постройте график функции y = 6/x, выбрав несколько значений x из области определения. Сначала выберем удобные ненулевые значения, чтобы получить целые координаты. Поскольку k положителен, точки будут располагаться в I и III четвертях.

1. Составляем таблицу значений: при x = 1, 2, 3 получаем y = 6, 3, 2.
2. Для отрицательных значений x = −1, −2, −3 получаем y = −6, −3, −2.
3. Наносим точки (1; 6), (2; 3), (3; 2), (−1; −6), (−2; −3), (−3; −2) и плавно проводим через них две ветви.

Ответ: график проходит через указанные точки и имеет ветви в I и III четвертях. Значение x = 0 в таблицу не включаем, так как функция в нём не определена.

Задача 3. Точки (2; 5) и (a; −2) принадлежат графику одной обратной пропорциональности. Найдите коэффициент k и число a. Воспользуемся тем, что произведение координат каждой точки равно одному и тому же коэффициенту. Сначала найдём k по точке с известными координатами, затем используем вторую точку.

1. Для точки (2; 5): k = 2 · 5 = 10.
2. Для точки (a; −2) составляем равенство a · (−2) = 10.
3. Делим обе части на −2: a = −5.

Ответ: k = 10, a = −5. Проверка: (−5) · (−2) = 10, значит, обе точки принадлежат графику одной зависимости.

Типичные ошибки

Ошибка: включать x = 0 в область определения. Так происходит, если смотреть только на таблицу значений и забыть, что x стоит в знаменателе. Проверь любое предполагаемое значение подстановкой: при x = 0 деление невозможно, поэтому этого значения в области определения нет.

Ошибка: при k < 0 помещать ветви в I и III четверти. Эти четверти соответствуют одинаковым знакам x и y, но отрицательный коэффициент даёт противоположные знаки. Для проверки возьми любое положительное x: значение k/x будет отрицательным, значит, точка лежит в IV четверти; вторая ветвь будет во II.

Ошибка: путать обратную пропорциональность с прямой и считать постоянным отношение y/x. Такое происходит потому, что в обеих формулах есть коэффициент k. Подставь формулу: из y = k/x следует xy = k, а отношение y/x вообще может меняться; это отличает зависимость от прямой пропорциональности.

Ошибка: соединять точки через начало координат или проводить ветви через оси. Иногда это делают, продолжая привычный рисунок прямой линии, но при обратной пропорциональности x и y не могут быть равны нулю. Подставь координаты любой точки на оси в формулу: для оси y получится x = 0, для оси x — y = 0; ни одна из таких точек графику не принадлежит.

Связь с другими темами

Для изучения этой темы нужны навыки подстановки чисел в формулу, работы с координатной плоскостью и построения графика по таблице. Если эти действия знакомы, можно сосредоточиться на связи xy = k и знаках координат. При построении полезно проверять каждую пару чисел подстановкой в исходную формулу.

Обратная пропорциональность пригодится в задачах, где произведение величин остаётся постоянным: например, при неизменной работе увеличение скорости сокращает время. Её график также используют при изучении преобразований графиков функций. Сравнение коэффициентов помогает предсказать, как изменится расположение ветвей.

Что запомнить

• Обратная пропорциональность задаётся формулой y = k/x, где k ≠ 0.
• Ноль не принадлежит области определения и множеству значений функции.
• Для каждой точки графика произведение координат xy равно k.
• При k > 0 ветви гиперболы находятся в I и III четвертях.
• При k < 0 ветви гиперболы находятся во II и IV четвертях.
• График обратной пропорциональности — гипербола.