4.1.3. Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Определения и обозначения

Уравнение, сводящееся к квадратному, — это уравнение, которое после преобразований или замены переменной можно решить как квадратное. Например, степени или повторяющиеся выражения в нём удаётся объединить. Такой способ помогает заменить сложную запись знакомой задачей на решение квадратного уравнения.

Биквадратное уравнение — уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0, где a ≠ 0. В нём есть только чётные степени переменной: четвёртая и вторая, а также свободный член. Узнавая такую форму, можно применить замену t = x² и не решать уравнение с четвёртой степенью напрямую.

Замена переменной — введение нового обозначения вместо выражения, которое повторяется в уравнении; например, t = x². Это делает запись короче и позволяет увидеть знакомую структуру квадратного уравнения. Новая переменная должна быть связана с исходной так, чтобы после решения можно было вернуться к x.

Обратная замена — возвращение от найденных значений новой переменной к значениям исходной переменной. Если было положено t = x², нужно решить x² = t для каждого допустимого t. Этот шаг необходим, потому что корни уравнения относительно t сами по себе ещё не являются ответом относительно x.

Как это устроено

В биквадратном уравнении выражения x⁴ и x² связаны: четвёртая степень получается возведением квадрата в квадрат, то есть x⁴ = (x²)². Поэтому удобно обозначить t = x², и тогда x⁴ заменяется на t². Уравнение ax⁴ + bx² + c = 0 превращается в at² + bt + c = 0, где неизвестной стала t. Полученная запись квадратная, а значит, её можно решить известными способами.

Решив квадратное уравнение, нельзя сразу объявлять все найденные t ответами исходной задачи. Нужно вспомнить, какое выражение было обозначено буквой t, и выяснить, может ли оно принимать каждое найденное значение. При замене t = x² это выражение неотрицательно, поэтому подходят только t ≥ 0. Так отсекают значения, которые не соответствуют ни одному действительному x.

Затем выполняют обратную замену отдельно для каждого допустимого значения. При t = x² и t > 0 число x может быть и положительным, и отрицательным: оба числа имеют один и тот же квадрат, поэтому получаются x = √t и x = −√t. Если t = 0, квадрату равен только ноль, а если t < 0, действительного решения нет. Разбор каждого значения по этим случаям не позволяет потерять корень или добавить невозможный.

Иногда повторяется не сама переменная, а выражение с ней. Например, в уравнении могут одновременно встретиться (x − 1)² и (x − 1)⁴, и они связаны так же, как x² и x⁴. Если обозначить t = (x − 1)², эти части превратятся в t и t², а уравнение станет квадратным относительно t. При обратной замене нужно решить уже уравнение (x − 1)² = t, а не просто приравнять x к найденному числу.

Проверка нужна потому, что не всякое преобразование сохраняет исходное множество решений. Например, умножение на выражение, которое может быть равно нулю, или возведение обеих частей в квадрат иногда добавляет значения, не подходящие исходному уравнению. Подстановка найденных корней в первоначальную запись позволяет обнаружить такие случаи. Если все преобразования были равносильными, проверка подтверждает вычисления; если нет — помогает отбросить посторонние корни.

Как свести уравнение к квадратному

Сначала найди выражение, которое повторяется в первой и второй степени, и обозначь его новой переменной. Затем реши полученное квадратное уравнение, не забывая о допустимых значениях замены. В конце вернись к исходной переменной и реши уравнение обратной замены.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение x⁴ − 5x² + 4 = 0.

Здесь x⁴ — это квадрат выражения x², поэтому неизвестные степени можно заменить одной переменной. После решения уравнения относительно неё нужно проверить, какие значения подходят для квадрата x². Затем каждое из подходящих значений даст отдельное уравнение для x.

1. Положим t = x², тогда x⁴ = t². Получаем t² − 5t + 4 = 0.
2. Разложим на множители: (t − 1)(t − 4) = 0, поэтому t = 1 или t = 4. Оба значения неотрицательны.
3. Выполним обратную замену: x² = 1 даёт x = −1 или x = 1; x² = 4 даёт x = −2 или x = 2.

Ответ: −2, −1, 1, 2. Проверка показывает, что квадрат каждого из этих чисел равен 1 или 4, а эти значения обращают исходное выражение в ноль.

Задача 2. Решить уравнение (x − 1)⁴ − 5(x − 1)² + 4 = 0.

Повторяется выражение x − 1: в уравнении есть его квадрат и квадрат этого квадрата. Поэтому заменять только часть выражения неудобно, а обозначение всей повторяющейся величины сразу приводит к квадратному уравнению. При возвращении к x каждый полученный квадрат нужно решить отдельно.

1. Положим t = (x − 1)². Тогда (x − 1)⁴ = t², и получаем t² − 5t + 4 = 0.
2. Разложим: (t − 1)(t − 4) = 0. Следовательно, t = 1 или t = 4; оба значения допустимы, поскольку t — квадрат.
3. При t = 1 имеем (x − 1)² = 1, поэтому x − 1 = ±1 и x = 0 или x = 2. При t = 4 имеем (x − 1)² = 4, поэтому x − 1 = ±2 и x = −1 или x = 3.

Ответ: −1, 0, 2, 3. Все четыре значения дают квадрат выражения x − 1, равный 1 или 4, поэтому исходное уравнение выполняется.

Задача 3. Решить уравнение x⁴ − 2x² − 3 = 0.

Снова введём t = x², чтобы получить квадратное уравнение. В этом примере один из его корней окажется отрицательным, поэтому нужно внимательно использовать связь t с квадратом x. Она определяет, какие найденные значения действительно можно вернуть к исходной переменной.

1. Положим t = x². Тогда получаем t² − 2t − 3 = 0.
2. Разложим на множители: (t − 3)(t + 1) = 0. Корни квадратного уравнения: t = 3 и t = −1.
3. Так как t = x² ≥ 0, значение t = −1 не подходит: уравнение x² = −1 не имеет действительных решений. Для t = 3 решаем x² = 3 и получаем x = ±√3.

Ответ: −√3, √3. Отрицательный корень вспомогательного уравнения не даёт действительных значений x и в ответ не включается.

Типичные ошибки

После замены t = x² иногда забывают условие t ≥ 0 и переносят в ответ отрицательный корень уравнения относительно t. Обычно это происходит, когда новую переменную начинают считать независимой от x. Проверь себя вопросом: может ли квадрат действительного числа быть отрицательным? Если нет, такое значение t нужно отбросить.

При обратной замене из x² = t могут записать только x = √t и потерять отрицательный корень. Причина в том, что квадратный корень √t обозначает неотрицательное число, хотя уравнение x² = t при t > 0 имеет два решения. Для проверки запиши оба: x = √t и x = −√t.

Ещё одна ошибка — считать, что каждому корню уравнения относительно t соответствует ровно один корень x. Но число решений зависит от того, какое выражение было заменено: например, уравнение x² = t при положительном t имеет два корня. Поэтому после решения квадратного уравнения обязательно решай уравнение обратной замены, а не останавливайся на значениях t.

Наконец, найденные значения могут оказаться посторонними, если преобразования не были равносильными. Так бывает, например, после умножения на выражение с переменной или возведения обеих частей в степень. Чтобы не принять такой корень за ответ, подставь каждое значение в исходное уравнение и проверь равенство.

Связь с другими темами

Для этого способа нужно уметь решать квадратные уравнения и раскладывать многочлены на множители. Также пригодится знание свойств степеней: равенство x⁴ = (x²)² объясняет, почему биквадратное уравнение становится квадратным после замены. Тот же приём используют в более сложных уравнениях и при упрощении выражений, когда в записи повторяются одинаковые части.

Что запомнить

• Замена должна превращать исходное уравнение в квадратное относительно новой переменной.
• В уравнении ax⁴ + bx² + c = 0 удобно положить t = x².
• При замене t = x² обязательно учитывать условие t ≥ 0.
• После решения уравнения относительно t нужно выполнить обратную замену.
• При t > 0 уравнение x² = t имеет два действительных корня.
• Найденные значения нужно проверить в исходном уравнении.