"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение — q. Это позволяет находить нужные сведения без дискриминанта, подбирать целые корни и составлять уравнение по двум известным корням. Обратная теорема помогает проверить, действительно ли выбранные числа являются корнями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Для применения теоремы Виета его делят на a и получают вид x² + px + q = 0. Здесь p = b/a, а q = c/a.
Теорема Виета утверждает: если x₁ и x₂ — корни уравнения x² + px + q = 0, то x₁ + x₂ = −p, а x₁x₂ = q. Значит, по коэффициентам можно узнать сумму и произведение корней, даже не находя сами корни.
Обратная теорема Виета утверждает: если два числа имеют сумму −p и произведение q, то они являются корнями уравнения x² + px + q = 0. Она нужна для проверки подобранных корней и составления уравнения по заданным числам.
Приведённое квадратное уравнение — это квадратное уравнение, у которого коэффициент при x² равен 1. Именно для такого вида формулы Виета записываются проще всего, поэтому к нему обычно приводят исходное уравнение.
Рассмотрим уравнение ax² + bx + c = 0. Так как a ≠ 0, на него можно разделить каждый член и получить x² + (b/a)x + c/a = 0. Поэтому обозначения p = b/a и q = c/a не меняют корни уравнения, а только делают первый коэффициент равным 1.
Если корни приведённого уравнения — x₁ и x₂, то его можно представить как (x − x₁)(x − x₂) = 0. Раскрытие скобок даёт x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0. Сравнение коэффициентов объясняет знак минус у суммы и показывает, почему произведение совпадает со свободным членом.
Таким образом, теорема Виета записывается двумя равенствами: x₁ + x₂ = −p и x₁x₂ = q. Например, для корней 2 и 5 сумма равна 7, а произведение — 10. Уравнение с такими корнями имеет вид x² − 7x + 10 = 0.
Обратная теорема рассуждает в противоположном направлении. Если известны сумма S и произведение P двух чисел, то выражение (x − x₁)(x − x₂) после раскрытия скобок превращается в x² − Sx + P. Поэтому числа с такими характеристиками являются корнями уравнения x² − Sx + P = 0.
При подборе целых корней сначала рассматривают пары делителей числа q, потому что их произведение должно равняться q. Затем проверяют их сумму: она должна быть равна −p. Если выполнены оба условия, обратная теорема подтверждает найденную пару.
| Что известно | Что утверждает теорема Виета | Что утверждает обратная теорема |
|---|---|---|
| Уравнение x² + px + q = 0 | Если известны корни x₁ и x₂, то x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = q. | Если два числа имеют сумму −p и произведение q, они являются корнями уравнения. |
| Связь корней с коэффициентами | Сумма связана с коэффициентом при x со знаком минус, произведение — со свободным членом. | По сумме и произведению восстанавливают коэффициенты уравнения. |
| Как проверить предполагаемые корни | Для уже найденных корней вычисляют их сумму и произведение. | Обе полученные величины сравнивают с −p и q. |
| Как составить уравнение по сумме и произведению корней | Из уравнения находят S = −p и P = q. | Записывают уравнение x² − Sx + P = 0. |
Сначала определите, приведено ли уравнение к виду x² + px + q = 0. Затем выберите нужный столбец: левый помогает понять исходные данные, средний — использовать известные корни, правый — проверить числа или составить уравнение.
В каждой проверке должны совпасть две характеристики: сумма и произведение. Совпадение только одной из них ещё не доказывает, что числа являются корнями.
Задача 1. Найти сумму и произведение корней уравнения x² − 7x + 12 = 0, не вычисляя корни. Уравнение уже приведено, поэтому дополнительные преобразования не нужны. Ищем коэффициенты p и q непосредственно в его записи.
Ответ: сумма корней равна 7, произведение равно 12. Находить сами корни для этого вопроса не требуется.
Задача 2. Составить приведённое квадратное уравнение с корнями 3 и −5. Сначала найдём характеристики пары чисел, а затем подставим их в формулу обратной теоремы. Знаки особенно важны при вычислении суммы.
Ответ: x² + 2x − 15 = 0. Проверка: сумма корней равна −2, а произведение −15, поэтому обратная теорема подтверждает результат.
Задача 3. Решить уравнение x² − 9x + 20 = 0 подбором целых корней. Нужно найти два числа, произведение которых равно 20, а сумма — 9. Положительные делители подходят по знаку, потому что произведение и сумма положительны.
Ответ: x = 4 или x = 5. Проверка по обратной теореме: 4 + 5 = 9, 4 · 5 = 20, поэтому оба числа действительно являются корнями.
Не приводят уравнение к нужному виду. Ученик применяет формулы к коэффициентам исходного уравнения, не разделив его на a. Проверьте, равен ли коэффициент при x² единице; если нет, разделите все члены на a.
Теряют знак минус в сумме. Часто записывают сумму как p, потому что смотрят только на число при x. Сверяйтесь с формулой x₁ + x₂ = −p и подставляйте значение p вместе с его знаком.
Путают сумму и произведение. Сумма связана с коэффициентом при x, причём со знаком минус, а произведение — со свободным членом. Полезно выписывать две отдельные строки: x₁ + x₂ = −p и x₁x₂ = q.
Проверяют только одно условие. Подходящая сумма или подходящее произведение по отдельности не гарантируют, что числа являются корнями. Для обратной теоремы обязательно проверьте обе величины.
До изучения теоремы нужно знать общий вид квадратного уравнения и понимать, что обозначают коэффициенты a, b и c. Также необходимо уметь делить все члены уравнения на ненулевое число, чтобы получать приведённый вид.
При подборе корней используются обычные действия с числами: сложение и умножение, в том числе с отрицательными числами. Ошибки в знаках сразу меняют результат проверки.
Теорема Виета помогает решать квадратные уравнения подбором корней и составлять уравнение по заданным корням. Она дополняет решение через дискриминант, когда корни неудобно или не требуется вычислять напрямую.
Нужно ли делить уравнение на коэффициент при x² перед применением теоремы Виета?
Да, если коэффициент при x² не равен 1, уравнение сначала делят на a и получают приведённый вид. Либо используют формулы для исходного уравнения: сумма корней −b/a, произведение c/a.
Почему сумма корней равна коэффициенту при x со знаком минус?
После разложения уравнения на множители получаем (x − x₁)(x − x₂) = x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂. Поэтому коэффициент при x равен противоположному числу по отношению к сумме корней.
Как найти сумму и произведение корней, если сами корни вычислять не требуется?
Нужно привести уравнение к виду x² + px + q = 0. Тогда сумма корней сразу равна −p, а произведение равно q.
Как составить квадратное уравнение по двум заданным корням?
Найдите сумму S и произведение P данных чисел. По обратной теореме запишите уравнение x² − Sx + P = 0.
Достаточно ли проверить сумму корней, чтобы убедиться, что числа являются корнями уравнения?
Нет, необходимо проверить и сумму, и произведение. Только совпадение обеих величин позволяет применить обратную теорему Виета.
4.1.4. Теорема Виета и обратная к ней теорема
