"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Квадратный трёхчлен — выражение вида ax² + bx + c, где a ≠ 0. Его можно разложить на множители, если известны действительные корни соответствующего уравнения. Число корней помогает определить дискриминант D = b² − 4ac: при D > 0 корней два, при D = 0 один, а при D < 0 действительных корней нет. Разложение удобно для решения уравнений и упрощения выражений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный трёхчлен — выражение вида ax² + bx + c, где a ≠ 0. Буквы a, b и c обозначают числа: a — коэффициент при x², b — при x, а c — свободный член. Именно коэффициент a отличает квадратный трёхчлен от выражения меньшей степени. По этим коэффициентам можно определить корни и разложить выражение на множители.
Корень квадратного трёхчлена — значение переменной, при котором трёхчлен равен нулю. Чтобы найти такие значения, решают соответствующее уравнение ax² + bx + c = 0. Например, если подстановка числа вместо x превращает выражение в ноль, это число является его корнем. Корни нужны, чтобы составить линейные множители.
Дискриминант квадратного трёхчлена — число D = b² − 4ac. Его вычисляют по коэффициентам a, b и c из исходного выражения. Знак D показывает, сколько у уравнения ax² + bx + c = 0 действительных корней. Поэтому с вычисления дискриминанта обычно начинают выяснять, возможно ли разложение на действительные линейные множители.
Разложение квадратного трёхчлена на множители — представление его в виде произведения более простых выражений. Если корни равны x₁ и x₂, то запись имеет вид a(x − x₁)(x − x₂). При таком преобразовании значение трёхчлена не меняется, но произведение может быть удобнее для решения уравнений или сокращения дробей. Полученную запись можно проверить раскрытием скобок.
Чтобы разложить трёхчлен, ищут корни уравнения ax² + bx + c = 0, потому что каждый корень показывает, при каком значении один из множителей должен стать нулём. Если x₁ — корень, то выражение x − x₁ обращается в нуль при x = x₁. Поэтому разложение должно содержать множитель (x − x₁), а второй корень даёт второй множитель. Так связь между уравнением и произведением возникает из свойства: произведение равно нулю, если хотя бы один его множитель равен нулю.
Сколько корней удастся найти, показывает дискриминант D = b² − 4ac. При D > 0 уравнение имеет два различных действительных корня, поэтому трёхчлен раскладывается на два линейных множителя над действительными числами. При D = 0 оба корня совпадают, и один множитель повторяется. При D < 0 действительных корней нет, а значит, над действительными числами нельзя получить разложение на линейные множители.
Если корни x₁ и x₂ найдены, записывают ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Коэффициент a остаётся перед скобками, потому что произведение двух выражений вида x − число начинается с x², у которого коэффициент равен 1. У исходного трёхчлена коэффициент при x² равен a, поэтому на всё произведение нужно умножить на a. Без него старший член разложения не совпадёт с исходным.
При D = 0 формула корней даёт одно значение x₀, и разложение записывается как ax² + bx + c = a(x − x₀)². Квадрат появляется потому, что один и тот же линейный множитель входит в произведение два раза. Например, если корень равен 2, повторяющийся множитель — (x − 2), а не (x + 2). Такая запись сохраняет и корень, и коэффициент при x².
Проверить разложение можно, раскрыв скобки и сравнив результат с исходным трёхчленом. При раскрытии произведения a(x − x₁)(x − x₂) старший член должен получиться ax², свободный член — c, а коэффициент при x — b. Если хотя бы один коэффициент отличается, нужно проверить корни, знаки в скобках и множитель a. Такая проверка позволяет обнаружить ошибку до того, как разложение используют дальше.
| Условие | Корни | Разложение над действительными числами |
|---|---|---|
| D > 0 | Два различных корня x₁ и x₂ | a(x − x₁)(x − x₂) |
| D = 0 | Один корень x₀, кратности 2 | a(x − x₀)² |
| D < 0 | Действительных корней нет | На линейные множители над действительными числами не раскладывается |
Сначала по знаку D определите строку таблицы, затем используйте подходящий вид разложения. Если корни действительные, подставьте их в множители именно со знаком «минус» перед корнем. Коэффициент a не убирайте: он нужен для совпадения старших членов.
Разложить на множители x² − 5x + 6. Здесь старший коэффициент равен 1, поэтому можно подобрать два числа: их произведение должно быть 6, а сумма — −5. Подходят числа −2 и −3: их произведение равно 6, сумма равна −5. Это даёт множители с корнями 2 и 3.
Ответ: (x − 2)(x − 3).
Разложить на множители 2x² + x − 3. Подбор чисел здесь может быть неудобен, поэтому сначала найдём корни через дискриминант. Коэффициенты равны a = 2, b = 1, c = −3. Поскольку a не равен 1, после нахождения корней перед скобками нужно сохранить множитель 2.
Ответ: (2x + 3)(x − 1).
Разложить 3x² − 12x + 12 и определить, раскладывается ли 2x² + 2x + 5 на линейные множители над действительными числами. В первом случае проверим, нет ли совпадающих корней, а во втором — есть ли действительные корни вообще. Для этого достаточно вычислить дискриминант каждого трёхчлена. Затем выберем соответствующую запись из таблицы.
Ответ: 3x² − 12x + 12 = 3(x − 2)²; 2x² + 2x + 5 на действительные линейные множители не раскладывается.
Иногда записывают (x − x₁)(x − x₂), забывая коэффициент a. Ошибка возникает, когда считают, что найденных корней достаточно, но произведение без a имеет старший член x², а не ax². Проверьте коэффициент при x² после раскрытия скобок. Если он не совпал с исходным, коэффициент a потерян.
Можно перепутать знак в скобке и написать (x + x₁) вместо (x − x₁). Это происходит потому, что знак корня и знак слагаемого в множителе выглядят противоположными. Подставьте корень в множитель: при x = x₁ выражение x − x₁ должно равняться нулю. Например, корню −3 соответствует x + 3.
Ошибки в дискриминанте часто связаны с выражением −4ac, особенно если один из коэффициентов отрицательный. Например, при c < 0 произведение −4ac может стать положительным. Сначала подставляйте коэффициенты в формулу с явными скобками, а потом выполняйте вычисления. Пересчёт D важен: неверный знак может изменить количество найденных корней.
При D < 0 иногда говорят, что трёхчлен вообще нельзя разложить. На самом деле он не раскладывается именно на линейные множители над действительными числами, потому что действительных корней у него нет. Уточняйте область чисел, когда формулируете ответ. Проверка знака D поможет избежать слишком общего вывода.
Для работы с трёхчленом нужны формула корней квадратного уравнения, вычисление дискриминанта и раскрытие скобок. Разложение на множители затем помогает решать квадратные уравнения и упрощать дробные выражения. Тема связана и с графиком квадратичной функции: её нули — это корни соответствующего трёхчлена. Поэтому корни показывают, где график пересекает ось x.
Почему при разложении на множители нужно сначала находить корни уравнения?
При корне трёхчлен обращается в нуль. Значит, в разложении соответствующий множитель тоже должен обращаться в нуль: корню x₁ соответствует множитель (x − x₁).
Как определить, сколько действительных корней имеет трёхчлен?
Вычислите дискриминант D = b² − 4ac. Если D > 0, корней два; если D = 0 — один корень кратности 2; если D < 0, действительных корней нет.
Почему перед скобками в разложении остаётся коэффициент a?
Произведение (x − x₁)(x − x₂) имеет старший член x² с коэффициентом 1. Чтобы получить исходный старший член ax², всё произведение нужно умножить на a.
Как записать разложение, если дискриминант равен нулю?
При D = 0 трёхчлен имеет один корень x₀, который считается дважды. Поэтому разложение записывают так: ax² + bx + c = a(x − x₀)².
Можно ли разложить на линейные множители трёхчлен с отрицательным дискриминантом?
Над действительными числами — нельзя: при D < 0 трёхчлен не имеет действительных корней. Поэтому его нельзя представить произведением линейных множителей с действительными коэффициентами.
4.1.5. Квадратный трехчлен и его разложение на множители
