4.1.6. Квадратные уравнения с параметром

Определения и обозначения

Параметр — буквенное обозначение фиксированного, но заранее неизвестного числа. Например, в уравнении x² + a = 0 буква a — параметр: его значение выбирают, а затем находят подходящие x. Это понятие нужно, чтобы описывать не одно уравнение, а целое семейство уравнений.

Уравнение с параметром — уравнение, в котором, кроме неизвестной, есть параметр, а решения нужно определить для допустимых значений параметра. При изменении параметра могут измениться и корни, и их количество. Поэтому в ответе указывают, какие решения получаются при разных значениях букв.

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Коэффициент a стоит при x², b — при x, а c — свободный член. Условие a ≠ 0 важно: если оно нарушено, уравнение перестаёт быть квадратным и его нужно решать иначе.

Дискриминант — выражение D = b² − 4ac. По его знаку определяют, сколько у квадратного уравнения действительных корней. Это позволяет сначала исследовать число решений, а затем, если нужно, вычислить сами корни.

Как это устроено

При решении уравнения с параметром параметр считают фиксированным числом. Например, если дано уравнение x² + ax + 1 = 0, можно сначала рассмотреть конкретное значение a, а затем перейти к остальным. Такой подход нужен потому, что нельзя искать один ответ для всех случаев: при одних значениях параметра корни есть, а при других их может не быть.

Перед формулой корней проверяют коэффициент при x². Если он зависит от параметра, то при некотором его значении может стать равным нулю, и тогда уравнение меняет степень. Например, при a = 0 в уравнении ax² + bx + c = 0 остаётся bx + c = 0; если одновременно b = 0, получится либо неверное равенство c = 0, либо тождество 0 = 0. Поэтому случаи с нулевым коэффициентом разбирают отдельно.

Если коэффициент при x² не равен нулю, уравнение действительно квадратное, и его корни определяют через дискриминант D = b² − 4ac. При D > 0 число под корнем положительно, поэтому формула даёт два разных действительных значения. При D = 0 оба знака в формуле приводят к одному значению, а при D < 0 действительных корней нет, поскольку квадратный корень из отрицательного числа среди действительных чисел не определён.

Когда спрашивают, при каких значениях параметра уравнение имеет заданное число корней, это условие переводят в условия на коэффициенты и дискриминант. Например, для двух действительных корней одновременно нужны a ≠ 0 и D > 0. Если же требуется корень с определённым свойством, одного знака дискриминанта недостаточно: нужно найти корни или использовать условие задачи, а затем проверить, каким значениям параметра оно соответствует.

Число действительных корней уравнения ax² + bx + c = 0

Сначала проверь, какой из случаев с коэффициентами подходит, и только при a ≠ 0 используй дискриминант. Для уравнений с параметром каждое условие из таблицы нужно рассмотреть отдельно. Так таблица помогает не пропустить ни линейный случай, ни особые значения дискриминанта.

Разбор задач

1. Для каких значений параметра a уравнение x² − 4x + a = 0 имеет два действительных корня?

1. Коэффициент при x² равен 1, поэтому уравнение квадратное при любом a.
2. Вычисляем дискриминант: D = (−4)² − 4 · 1 · a = 16 − 4a.
3. Два действительных корня будут, когда D > 0. Решаем неравенство: 16 − 4a > 0, значит a < 4.

Ответ: при a < 4. Здесь достаточно условия на дискриминант, потому что старший коэффициент не зависит от параметра и всегда ненулевой.

2. Решить уравнение (m − 2)x² + 3x − 1 = 0 в зависимости от значения m.

1. Сначала проверяем коэффициент при x². При m = 2 он равен нулю, и получается линейное уравнение 3x − 1 = 0, откуда x = 1/3.
2. При m ≠ 2 уравнение квадратное. Его дискриминант равен D = 3² − 4(m − 2)(−1) = 4m + 1.
3. Если m < −1/4, то D < 0 и действительных корней нет. При m = −1/4 дискриминант равен нулю: единственный корень x = −3/(2(m − 2)) = 2/3.
4. При m > −1/4 и m ≠ 2 дискриминант положителен, поэтому два корня: x = (−3 ± √(4m + 1))/(2(m − 2)).

Ответ: при m = 2 корень 1/3; при m = −1/4 корень 2/3; при m > −1/4, m ≠ 2 — два корня по формуле; при m < −1/4 действительных корней нет.

3. Найти все значения параметра p, при которых уравнение x² − 2px + p² − 1 = 0 имеет корень, больший 2.

1. Находим дискриминант: D = (−2p)² − 4(p² − 1) = 4. Он положителен при любом p, значит корней всегда два.
2. По формуле корней получаем x = (2p ± 2)/2, то есть x₁ = p − 1 и x₂ = p + 1.
3. Нужно, чтобы хотя бы один корень был больше 2. Для x₁ это даёт p − 1 > 2, то есть p > 3; для x₂ — p + 1 > 2, то есть p > 1.
4. Достаточно выполнения хотя бы одного условия. Все значения p > 3 уже входят в множество p > 1, поэтому объединение условий — p > 1.

Ответ: p > 1. Проверка обоих корней нужна, потому что условие требует корень больше 2, но не уточняет, какой именно из двух.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сразу применять формулу корней, не проверив коэффициент при x². Так делают, потому что по виду задания ожидают именно квадратное уравнение, но параметр может обнулить старший коэффициент. Проверь его отдельно; если он равен нулю, формула неприменима и нужно решать уравнение меньшей степени.

Вторая ошибка — считать, что D = 0 означает два разных корня. Это происходит из-за записи формулы со знаками «плюс» и «минус», хотя при √D = 0 оба выражения совпадают. Подставь D = 0 в формулу и сравни полученные значения: останется один корень, называемый двойным.

Третья ошибка — не разделять случаи по параметру, когда коэффициент или дискриминант может обратиться в ноль. В результате особое значение попадает в формулу, где деление на ноль, или пропускается случай одного корня. Перед вычислениями выпиши значения, при которых выражения равны нулю, и рассмотрите их отдельно.

Четвёртая ошибка — решить неравенство для дискриминанта и забыть другие условия задачи. Например, D > 0 не гарантирует два корня, если коэффициент при x² равен нулю; также знак D ничего не говорит о том, больше ли корень заданного числа. Проверь, что ответ удовлетворяет каждому условию: и коэффициентам, и количеству или свойству корней.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны навыки решения линейных и квадратных уравнений, вычисления дискриминанта и применения формулы корней. Также приходится решать неравенства и разделять значения параметра на случаи, когда буквенное выражение положительно, отрицательно или равно нулю. Позже такой разбор используют в задачах о числе решений, в системах уравнений и при исследовании неравенств с параметрами.

Что запомнить

• Параметр считают фиксированным числом, но рассматривают разные его значения.
• Сначала проверь, равен ли нулю коэффициент при x².
• Формула корней применима только при ненулевом коэффициенте при x².
• При D > 0 квадратное уравнение имеет два действительных корня.
• При D = 0 квадратное уравнение имеет один действительный корень.
• При D < 0 действительных корней нет.
• В ответе указывай, при каких значениях параметра выполняется каждый случай.