§ 2. Квадратичная функция

Определения и обозначения

Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a, b, c — числа и a ≠ 0. Условие a ≠ 0 нужно потому, что именно слагаемое ax² делает функцию квадратичной. Если a = 0, получается линейная или постоянная функция.

Парабола — график квадратичной функции. Направление её ветвей определяется знаком коэффициента a: при a > 0 они направлены вверх, а при a < 0 — вниз. По этому признаку можно заранее понять, будет ли у функции наименьшее или наибольшее значение.

Вершина параболы — точка, в которой график достигает наименьшего или наибольшего значения. Её координаты для функции y = ax² + bx + c равны (−b/(2a); (4ac − b²)/(4a)). Вершина помогает быстро определить крайнее значение и построить график.

Ось симметрии параболы — прямая, относительно которой её левая и правая части являются зеркальными отражениями. Для функции y = ax² + bx + c это прямая x = −b/(2a). Она проходит через вершину и делит график на две симметричные части.

Как это устроено

Чтобы исследовать квадратичную функцию, выделяют полный квадрат. Выражение ax² + bx + c можно записать в виде a(x − m)² + n, где m = −b/(2a). Такая запись показывает, на сколько график y = x² сдвинули по горизонтали и вертикали, а число a отвечает за растяжение, сжатие или отражение.

График y = x² является исходной параболой с вершиной (0; 0). В выражении y = a(x − m)² + n замена x на x − m переносит график на m единиц вправо, а добавление n поднимает или опускает его. Множитель a изменяет форму параболы: при |a| > 1 она становится уже, а при 0 < |a| < 1 — шире.

Из формы y = a(x − m)² + n сразу видны вершина (m; n) и ось симметрии x = m. При раскрытии скобок получаем ax² − 2amx + am² + n, поэтому коэффициент при x равен b = −2am. Отсюда m = −b/(2a), а после подстановки находится ордината вершины y₀ = (4ac − b²)/(4a).

Знак a определяет поведение функции вдали от вершины, потому что квадрат (x − m)² неотрицателен. При a > 0 значение добавки a(x − m)² увеличивается вверх, поэтому вершина является минимумом. При a < 0 эта добавка уводит график вниз, и вершина становится максимумом.

Нуль функции — значение x, при котором y = 0. На графике нули соответствуют точкам пересечения параболы с осью Ox, поэтому их находят решением уравнения ax² + bx + c = 0. В зависимости от положения параболы таких точек может быть две, одна или ни одной.

Основные свойства функции y = ax² + bx + c

В таблице x₀ = −b/(2a), а y₀ — ордината вершины. Сначала определите знак a и координаты вершины, затем выберите нужную строку. Область определения у квадратичной функции всегда одна и та же, а остальные свойства зависят от положения вершины и направления ветвей.

Разбор задач

Задача 1. Построить график функции y = x² − 4x + 3 и указать вершину и ось симметрии

Нужно получить удобную форму функции и использовать свойства графика y = x². Коэффициент при x² положителен, поэтому парабола будет направлена вверх. Это заранее подсказывает, что найденная вершина будет точкой минимума.

1. Выделим полный квадрат: y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1.
2. Сравним полученную форму с y = a(x − m)² + n. Здесь a = 1, m = 2, n = −1, поэтому вершина имеет координаты (2; −1).
3. Проведём ось симметрии x = 2. Для построения отметим вершину и симметричные точки: при x = 1 и x = 3 получаем y = 0, а при x = 0 и x = 4 получаем y = 3.

Ответ: вершина (2; −1), ось симметрии x = 2. График — парабола, направленная вверх, с нулями x = 1 и x = 3.

Задача 2. Найти область значений и промежутки возрастания и убывания функции y = −2x² + 8x − 5

Здесь достаточно найти вершину и учесть знак старшего коэффициента. Поскольку a = −2 < 0, ветви направлены вниз, значит, вершина даст наибольшее значение. После этого ось симметрии разделит промежутки монотонности.

1. Найдём абсциссу вершины: x₀ = −8/(2 · (−2)) = 2.
2. Подставим x₀ в функцию: y₀ = −2 · 2² + 8 · 2 − 5 = 3.
3. Так как ветви направлены вниз, область значений: y ≤ 3.
4. До вершины функция возрастает, а после вершины убывает. Поэтому она возрастает на (−∞; 2] и убывает на [2; +∞).

Ответ: область значений y ≤ 3; функция возрастает на (−∞; 2] и убывает на [2; +∞). Наибольшее значение равно 3.

Задача 3. Найти значения параметра p, при которых график y = x² + px + 4 касается оси Ox

Касание оси Ox означает, что парабола имеет с этой осью ровно одну общую точку. Значит, уравнение x² + px + 4 = 0 должно иметь единственный корень. Для квадратного уравнения это происходит тогда, когда дискриминант равен нулю.

1. Запишем дискриминант: D = p² − 4 · 1 · 4 = p² − 16.
2. Приравняем его к нулю: p² − 16 = 0, откуда p² = 16.
3. Получаем два значения параметра: p = 4 или p = −4.

Ответ: p = 4 или p = −4. В каждом случае парабола касается оси Ox в одной точке.

Типичные ошибки

Ошибка: считать квадратичной функцию при a = 0. Так делают, потому что вид записи сохраняется, но член с x² фактически исчезает. Проверьте, есть ли ненулевой коэффициент перед x².

Ошибка: находить абсциссу вершины как b/(2a), без минуса. Знак теряется при применении формулы, поэтому полезно каждый раз записывать x₀ = −b/(2a) полностью. Проверить результат можно выделением полного квадрата.

Ошибка: путать направление ветвей параболы. Иногда ориентируются на знак свободного члена c, хотя направление определяет только a. При a > 0 ветви идут вверх, а при a < 0 — вниз.

Ошибка: считать, что у каждой параболы два нуля. Положение вершины может дать две точки пересечения с Ox, одну точку или ни одной. Проверьте число корней по дискриминанту или по расположению графика относительно оси.

Связь с другими темами

Перед изучением квадратичной функции нужно уметь строить график y = x², выделять полный квадрат и решать квадратные уравнения. Эти умения позволяют переходить от формулы к графику и обратно. Без них трудно находить вершину, нули и область значений.

Квадратичная функция связывает графики с квадратными уравнениями и неравенствами. Её вершина помогает решать задачи на максимум и минимум, например находить наибольшую площадь или высоту. Нули функции показывают границы промежутков при исследовании квадратных неравенств.

Что запомнить

• Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a ≠ 0.
• Её график — парабола.
• Абсцисса вершины равна −b/(2a), а ось симметрии задаётся уравнением x = −b/(2a).
• При a > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 — вниз.
• Область определения любой квадратичной функции — все действительные числа.
• Нули квадратичной функции — абсциссы точек пересечения её графика с осью Ox.