"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Функции y = ax², y = ax² + h и y = a(x − d)² задают параболы — графики с вершиной и осью симметрии. По коэффициенту a можно определить, куда направлены ветви и насколько они широкие. Добавление h сдвигает параболу вверх или вниз, а число d в скобках — вправо или влево. Эти свойства помогают быстро строить графики, находить наибольшие и наименьшие значения и решать неравенства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратичная функция — функция вида y = ax², где a ≠ 0. Её график называют параболой: при увеличении x по модулю значение x² растёт, а значения функции расположены симметрично относительно вертикальной оси. Это помогает предсказывать форму графика и строить его не только по таблице, но и по свойствам формулы.
Коэффициент a — ненулевое число перед x² в формуле y = ax². Он влияет на направление ветвей и на то, насколько парабола узкая или широкая. Зная a, можно заранее выбрать нужное направление и расстояние между ветвями, а не угадывать форму по точкам.
Парабола — график квадратичной функции; у графика y = ax² вершина находится в точке (0; 0), а ось симметрии задаётся уравнением x = 0. Вершина — точка, где ветви сходятся и меняют направление. Она помогает увидеть, где функция принимает наименьшее или наибольшее значение.
Сдвиг графика — изменение его положения на координатной плоскости без изменения формы. Число h в y = ax² + h задаёт вертикальное перемещение, а замена x на x − d в y = a(x − d)² — горизонтальное. Сдвиг позволяет строить новые графики, используя уже знакомую параболу.
Чтобы получить y = ax² из y = x², каждую ординату, то есть координату точки по вертикали, умножают на a. Если a положительно, знак ординаты сохраняется, поэтому ветви остаются направленными вверх; если a отрицательно, знаки меняются на противоположные, и ветви направлены вниз. Так знак коэффициента объясняет ориентацию всей параболы, а не только одной её точки.
Модуль коэффициента |a| показывает, во сколько раз меняются ординаты по сравнению с графиком y = x². При |a| > 1 точки удаляются от оси x сильнее, поэтому парабола выглядит уже; при 0 < |a| < 1 точки приближаются к оси, и парабола становится шире. Знак a отвечает за направление, а модуль — за ширину, поэтому эти свойства удобно проверять отдельно.
В формуле y = ax² + h к каждому значению ax² прибавляется одно и то же число h. Значит, все точки поднимаются на h единиц, если h положительно, или опускаются, если h отрицательно; горизонтальные координаты не меняются. Вершина (0; 0) переходит в (0; h), а форма и ось симметрии x = 0 сохраняются.
В формуле y = a(x − d)² квадрат обращается в ноль при x = d. Поэтому точка, которая была вершиной в начале координат, перемещается в (d; 0), а вся парабола сдвигается вдоль оси x на d единиц. При d > 0 сдвиг направлен вправо, при d < 0 — влево; ось симметрии теперь проходит по прямой x = d.
Для построения сначала найди вершину и проведи через неё ось симметрии. Затем по знаку a определи, куда направить ветви, а по |a| — насколько они узкие или широкие; несколько точек можно получить подстановкой значений x. Каждую точку по одну сторону от оси отрази на такое же расстояние по другую, потому что парабола симметрична.
| Свойство | y = ax² | y = ax² + h | y = a(x − d)² |
|---|---|---|---|
| Условия на параметры | a ≠ 0 | a ≠ 0, h — любое число | a ≠ 0, d — любое число |
| Вершина параболы | (0; 0) | (0; h) | (d; 0) |
| Ось симметрии | x = 0 | x = 0 | x = d |
| Направление ветвей | Вверх при a > 0, вниз при a < 0 | Вверх при a > 0, вниз при a < 0 | Вверх при a > 0, вниз при a < 0 |
| Зависимость ширины от |a| | При |a| > 1 парабола уже, при 0 < |a| < 1 — шире | ||
| Область определения | Все действительные числа | Все действительные числа | Все действительные числа |
| Множество значений | y ≥ 0 при a > 0; y ≤ 0 при a < 0 | y ≥ h при a > 0; y ≤ h при a < 0 | y ≥ 0 при a > 0; y ≤ 0 при a < 0 |
| Как построить из графика y = ax² | Исходный график | Сдвинуть на h вдоль оси y | Сдвинуть на d вдоль оси x |
Пользуйся таблицей в таком порядке: найди вид формулы, определи вершину и ось симметрии, затем учти знак и модуль a. Для функции с обоими сдвигами y = a(x − d)² + h вершина будет (d; h), а ось симметрии — x = d.
Сравним формулу с y = ax²: здесь a = 2, поэтому вершина остаётся в начале координат, а ветви направлены вверх. Для построения возьмём значения x, симметричные относительно нуля, и вычислим y. Коэффициент 2 растягивает график по вертикали, поэтому он будет уже, чем y = x².
Ответ: вершина (0; 0), ось симметрии x = 0, ветви направлены вверх.
Сначала рассмотрим y = −0,5x²: отрицательный коэффициент направляет ветви вниз, а модуль 0,5 делает параболу шире графика y = x². Прибавление 3 поднимает каждую точку на три единицы, поэтому вершина перемещается из (0; 0) в (0; 3). Вниз направленная парабола достигает наибольшего значения в вершине.
Ответ: вершина (0; 3), ось симметрии x = 0, наибольшее значение функции равно 3; наименьшего значения нет.
Формула показывает два перемещения графика y = 3x²: сначала вправо на 2, затем вниз на 4. Поэтому вершина находится в точке (2; −4), а ось симметрии задаётся уравнением x = 2. Так как a = 3 > 0, ветви направлены вверх. Для решения неравенства найдём, где график расположен не выше прямой y = 8.
Ответ: вершина (2; −4), ось симметрии x = 2, ветви направлены вверх; решение неравенства — 0 ≤ x ≤ 4.
В записи y = a(x − d)² иногда считают, что вершина имеет абсциссу −d. Ошибка возникает потому, что знак внутри скобок принимают за знак сдвига, не находя ноль выражения x − d. Проверь себя подстановкой: при x = d квадрат равен нулю, значит, вершина находится при абсциссе d.
Число h в формуле y = ax² + h могут принять за коэффициент, который меняет ширину. Но h прибавляется после возведения x в квадрат, поэтому оно одинаково меняет ординату каждой точки. Чтобы проверить построение, сравни расстояния от вершины до точек: ширину задаёт a, а не h.
Отрицательное a иногда ошибочно считают признаком только широкой параболы. На самом деле знак a переворачивает ветви, а ширина зависит от |a|; например, −2 даёт ветви вниз и узкую параболу. Для самопроверки отдельно запиши знак коэффициента и его модуль.
Если построить кривую только по нескольким точкам, можно случайно получить несимметричный график. Так бывает, когда точки отмечены неточно или выбраны лишь с одной стороны оси. Найди ось симметрии и для каждой точки построй парную на таком же расстоянии от неё.
Для построения парабол нужны умение работать с координатной плоскостью, составлять таблицу значений и свойства функции y = x². Эти знания позволяют перейти от знакомого графика к его растяжениям и сдвигам. Позже тот же подход поможет исследовать квадратичную функцию общего вида и преобразовывать её график.
Вершина и направление ветвей помогают находить экстремумы — наибольшие и наименьшие значения функции. Графики парабол также применяют при решении квадратных уравнений и неравенств: корни уравнения связаны с пересечениями графика с осью x. Поэтому понимание сдвигов полезно и для алгебраических вычислений, и для чтения графиков.
Почему при записи y = a(x − d)^2 график сдвигается вправо, а не влево?
Вершина получается, когда выражение в скобках равно нулю: x − d = 0, значит, x = d. Поэтому при d > 0 вершина находится правее начала координат, и график сдвинут вправо.
Как быстро определить направление ветвей параболы?
Посмотри на знак коэффициента a перед квадратом. Если a > 0, ветви направлены вверх, а если a < 0 — вниз.
Что меняет число h, а что меняет коэффициент a?
Число h в функции y = ax² + h перемещает параболу вверх или вниз, не меняя её ширины. Коэффициент a задаёт направление ветвей и ширину параболы.
Как найти вершину параболы по её формуле?
Для y = ax² вершина находится в точке (0; 0), а для y = ax² + h — в точке (0; h). В записи y = a(x − d)² вершина имеет координаты (d; 0); если есть оба сдвига, y = a(x − d)² + h, то вершина — (d; h).
Можно ли построить график без составления полной таблицы значений?
Да. Найди вершину и ось симметрии, определи направление ветвей и отметь несколько точек по одну сторону от оси. Затем отрази эти точки симметрично относительно оси.
4.2.1. Функции у = ах^2; у = ах^2 + h;y = а (х- d)^2 их графики
