4.2.2. Квадратичная функция у = ах2 + bх + с

Определения и обозначения

Квадратичная функция — это функция вида y = ax² + bx + c, где a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Условие a ≠ 0 необходимо: иначе слагаемое с x² исчезает и получится линейная или постоянная функция. По этой формуле изучают, как значение y меняется в зависимости от x.

Парабола — график квадратичной функции. Это плавная линия с двумя ветвями: при a > 0 они направлены вверх, а при a < 0 — вниз. Форма параболы помогает сразу увидеть, где функция принимает положительные или отрицательные значения.

Вершина параболы — точка графика, в которой функция достигает наименьшего или наибольшего значения. Если ветви направлены вверх, вершина задаёт минимум, а если вниз — максимум. Поэтому координаты вершины нужны для нахождения экстремального значения функции.

Ось симметрии параболы — прямая, относительно которой её левая и правая части симметричны. Она проходит через вершину и имеет вид вертикальной прямой x = x₀. Зная ось симметрии, можно строить график по одной точке и её симметричной паре.

Как это устроено

Основой служит график y = x². Коэффициент a растягивает или сжимает параболу по вертикали: при |a| > 1 ветви становятся уже, а при 0 < |a| < 1 — шире; его знак дополнительно отражает график вниз. Слагаемые bx и c изменяют положение графика, поэтому парабола обычно уже не имеет вершину в начале координат.

Формулу удобно преобразовать, выделив полный квадрат: y = a(x² + (b/a)x) + c = a(x + b/(2a))² − b²/(4a) + c. Значение внутри квадрата неотрицательно, а его наименьшее значение достигается при x + b/(2a) = 0. Поэтому абсцисса вершины равна x₀ = −b/(2a), а ось симметрии проходит по вертикальной прямой x = −b/(2a).

Ординату вершины находят без нового правила: в исходную формулу подставляют найденное x₀. Получается y₀ = f(x₀), поэтому вершина записывается как (−b/(2a); f(−b/(2a))). Если a > 0, значение y₀ — наименьшее для всей функции, а если a < 0 — наибольшее.

С осью Oy график встречается при x = 0, поэтому сразу получаем точку (0; c). Для оси Ox нужно положить y = 0 и решить уравнение ax² + bx + c = 0. Каждый действительный корень даёт точку пересечения (x; 0), а отсутствие действительных корней означает, что парабола ось Ox не пересекает.

Основные свойства функции y = ax² + bx + c

Таблица помогает выбрать нужную формулу для конкретного свойства. Сначала определите знак a и найдите вершину, а затем используйте корни и точку (0; c) для построения. Если требуется экстремум, достаточно вычислить ординату вершины.

Разбор задач

Задача 1. Построить график функции y = x² − 4x + 3, указав вершину и ось симметрии.

1. Сравним формулу с y = ax² + bx + c: a = 1, b = −4, c = 3. Так как a > 0, ветви направлены вверх.
2. Найдём абсциссу вершины: x₀ = −(−4)/(2 · 1) = 2.
3. Подставим x₀: y₀ = 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Вершина — точка (2; −1), а ось симметрии имеет уравнение x = 2.
4. Для удобного построения найдём нули: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3), поэтому график проходит через (1; 0) и (3; 0). Ещё одна точка — (0; 3), после чего симметрия помогает достроить параболу.

Ответ: вершина (2; −1), ось симметрии x = 2, ветви направлены вверх.

Задача 2. Для функции y = −2x² + 8x − 5 определить направление ветвей, вершину и наибольшее значение.

1. Старший коэффициент равен −2, поэтому ветви направлены вниз и вершина будет точкой максимума.
2. Вычислим x₀ = −8/(2 · (−2)) = 2.
3. Найдём ординату: y₀ = −2 · 2² + 8 · 2 − 5 = 3. Значит, вершина имеет координаты (2; 3), а наибольшее значение функции равно 3.

Ответ: ветви направлены вниз, вершина (2; 3), наибольшее значение — 3.

Задача 3. Найти, при каких значениях x функция y = x² + 2x − 8 принимает отрицательные значения.

1. Сначала найдём нули функции: x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2), откуда x₁ = −4 и x₂ = 2.
2. Коэффициент a = 1 положителен, поэтому парабола направлена вверх. Между корнями её график расположен ниже оси Ox.
3. Следовательно, отрицательные значения получаются при −4 < x < 2; сами корни дают y = 0 и в ответ не входят.

Ответ: x ∈ (−4; 2).

Типичные ошибки

Считать квадратичной функцию при a = 0. Ошибка возникает из-за того, что в записи всё ещё могут оставаться буквы. Но член x² исчезает, поэтому нужно проверить именно коэффициент при квадрате: функция становится линейной или постоянной.

Брать абсциссу вершины равной b/(2a). Знак минус часто теряют при подстановке коэффициентов. Проверяйте себя выделением полного квадрата или подстановкой найденного x₀: вершина должна иметь одинаковые значения y у симметричных точек.

Определять направление ветвей по b или c. Эти коэффициенты влияют на положение графика, но не задают его направление. Смотрите только на знак a: положительный знак означает ветви вверх, отрицательный — вниз.

Считать, что парабола всегда пересекает ось Ox дважды. На самом деле всё зависит от действительных корней квадратного уравнения. Проверьте дискриминант: при двух, одном или нулевом количестве действительных корней будет соответственно две, одна или ни одной точки пересечения.

Связь с другими темами

До изучения квадратичной функции нужно уметь строить график y = x², подставлять значения в формулу и решать квадратные уравнения. Эти навыки позволяют находить вершину, нули и точки графика без лишних действий.

Квадратичная функция используется при поиске наибольших и наименьших значений, решении квадратных неравенств и описании реальных зависимостей. Например, с её помощью можно исследовать движение тела, площадь фигуры или изменение прибыли.

Что запомнить

• В квадратичной функции y = ax² + bx + c коэффициент a не равен нулю.
• График квадратичной функции — парабола.
• Ось симметрии параболы задаётся уравнением x = −b/(2a).
• Вершина параболы имеет абсциссу −b/(2a).
• При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
• Коэффициент c задаёт ординату точки пересечения графика с осью Oy.