"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Квадратный трёхчлен ax² + bx + c задаёт параболу, а её положение зависит от коэффициентов. Если ветви направлены вверх, у трёхчлена есть наименьшее значение; если вниз — наибольшее. Экстремум находится в вершине параболы: её абсцисса равна −b/(2a), а значение получают подстановкой этой абсциссы в выражение. Эти приёмы помогают быстро исследовать функцию и решать задачи на неравенства и оптимальный выбор.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный трёхчлен — выражение вида ax² + bx + c, где a ≠ 0. Коэффициент a стоит при x² и задаёт направление ветвей параболы, b влияет на положение вершины по горизонтали, а c равен значению выражения при x = 0. Эти обозначения позволяют по формуле понять свойства выражения, не подставляя множество значений x.
Вершина параболы — точка графика квадратичной функции, в которой ветви меняют направление. Её координаты обозначают x₀ = −b/(2a) и y₀ = f(x₀). Эта точка нужна, чтобы определить, где функция достигает экстремума, то есть наибольшего или наименьшего значения.
Наибольшее и наименьшее значения — соответственно максимальное и минимальное значения функции на рассматриваемом множестве x. На всей числовой прямой у квадратного трёхчлена существует только одно из них: максимум либо минимум. Указание области значений x важно, потому что на ограниченном промежутке могут измениться и ответ, и способ его поиска.
График y = ax² + bx + c — парабола, потому что в формуле переменная x возведена во вторую степень. При a > 0 квадратный член становится большим положительным числом при больших по модулю x, поэтому ветви расходятся вверх. При a < 0 он становится большим по модулю отрицательным числом, и ветви направлены вниз.
Выделим полный квадрат: ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Квадрат в скобках не может быть отрицательным, а его наименьшее значение равно нулю и достигается при x = −b/(2a). Поэтому запись сразу показывает координаты вершины: x₀ = −b/(2a), y₀ = c − b²/(4a).
Если у трёхчлена есть два корня, абсцисса вершины находится посередине между ними: x₀ = (x₁ + x₂)/2. Это объясняется симметрией параболы: точки графика с одинаковыми значениями y расположены по разные стороны от оси симметрии. Такой способ применим только при существовании корней, а формула −b/(2a) подходит всегда.
При a > 0 квадратный член положителен, а после выделения квадрата видно, что выражение не меньше значения c − b²/(4a). Равенство достигается в вершине, поэтому там находится наименьшее значение. Наибольшего значения нет: при удалении x от вершины значения функции растут без ограничения.
При a < 0 множитель перед квадратом отрицателен, поэтому чем больше квадрат в скобках, тем меньше всё выражение. В вершине квадрат равен нулю, и значение функции оказывается наибольшим. Наименьшего значения на всей числовой прямой нет, поскольку при больших по модулю x значения убывают без ограничения.
График y = (x − 1)² − 4 направлен ветвями вверх. Его вершина (1; −4) показывает, что −4 — наименьшее значение функции.
| Условие | Направление ветвей | Значение в вершине | Экстремум на всей числовой прямой |
|---|---|---|---|
| a > 0 | Вверх | Наименьшее | Минимум есть, максимума нет |
| a < 0 | Вниз | Наибольшее | Максимум есть, минимума нет |
| Координаты вершины | x₀ = −b/(2a) | y₀ = f(x₀) | Сначала найти x₀, затем вычислить f(x₀) |
Сначала найди знак a и выбери соответствующую строку: так ты поймёшь, какой экстремум существует. Затем вычисли координаты вершины; значение y₀ — это результат подстановки x₀ в исходный трёхчлен. Последняя строка напоминает порядок вычислений.
Коэффициент при x² положителен, значит, выражение имеет минимум. Чтобы увидеть его значение, удобно представить трёхчлен как квадрат выражения плюс число. Минимум квадрата равен нулю, поэтому минимум всего трёхчлена определяется оставшимся числом.
Ответ: 2.
Здесь a = −2, поэтому ветви направлены вниз и в вершине находится максимум. Сначала вычислим абсциссу вершины по формуле, не забывая подставить отрицательный коэффициент a. После этого подставим найденное x в исходное выражение, чтобы получить именно значение функции.
Ответ: 5.
Требование «10 или меньше» означает неравенство 3x² − 12x + 7 ≤ 10. Представим левую часть через квадрат: это позволит сравнить выражение с его минимумом. Затем решим полученное неравенство и запишем все подходящие x.
Минимум трёхчлена равен −5 и достигается при x = 2, поэтому значения, не превосходящие 10, образуют промежуток вокруг вершины. Ответ: x ∈ [2 − √5; 2 + √5].
Путают знак a и вид экстремума: считают, что при положительном a есть максимум. Ошибка возникает, если запомнить направление ветвей наоборот; проверь себя по квадратному члену: при a > 0 парабола открыта вверх, значит, в вершине минимум.
Полагают, что на всей прямой обязательно существуют и максимум, и минимум. Но ветви параболы продолжаются бесконечно, поэтому один край значений не ограничен; проверяй направление ветвей и называй только существующий экстремум.
Записывают x₀ = b/(2a), забывая минус. Такое случается при переносе формулы из памяти; для проверки выдели квадрат или подставь коэффициенты в x₀ = −b/(2a).
Находят x₀ и принимают его за экстремальное значение. Это абсцисса, то есть аргумент, а не значение функции; после её нахождения обязательно вычисли f(x₀) и проверь, что получил y-координату вершины.
Перед изучением темы полезно повторить формулы сокращённого умножения и выделение полного квадрата: они помогают увидеть вершину и экстремум без построения графика. Также нужны навыки чтения графика квадратичной функции и нахождения координат вершины параболы. Эти знания пригодятся при решении квадратных неравенств, исследовании функций и задачах на оптимизацию, где требуется найти наибольшее или наименьшее возможное значение.
Почему у квадратного трёхчлена бывает только максимум или только минимум?
На всей числовой прямой ветви параболы бесконечно продолжаются в одном направлении по вертикали. Поэтому при ветвях вверх значения не ограничены сверху, но имеют минимум; при ветвях вниз — наоборот.
Как быстро найти абсциссу вершины параболы?
Используй формулу x₀ = −b/(2a), где a и b — коэффициенты при x² и x. Подставь их с учётом знаков.
Как определить, будет ли значение в вершине наибольшим или наименьшим?
Посмотри на знак коэффициента a. При a > 0 ветви направлены вверх, и в вершине достигается минимум; при a < 0 достигается максимум.
Можно ли найти экстремум, не строя график?
Да. Найди x₀ = −b/(2a), затем вычисли f(x₀). Также можно выделить полный квадрат: полученная запись сразу показывает вершину и экстремальное значение.
Что делать, если в условии задан не весь промежуток числовой прямой?
Нужно искать максимум или минимум только на указанном промежутке. Сравни значение в вершине, если она принадлежит промежутку, со значениями на его границах; на открытых границах значение может не достигаться.
4.2.3.* Наибольшее и наименьшее значение квадратного трехчлена
