§ 3. Квадратные неравенства

Определения и обозначения

Квадратное неравенство — неравенство, которое после переноса всех слагаемых в одну часть имеет вид ax² + bx + c > 0 или с другим знаком сравнения, где a ≠ 0. Например, выражения с x² можно перенести влево, а справа получить ноль. Такой вид удобен, потому что дальше достаточно выяснить, когда трёхчлен положителен, отрицателен или равен нулю. Коэффициент a не может быть нулём: иначе неравенство уже не будет квадратным.

Квадратный трёхчлен — выражение ax² + bx + c, где a, b и c — числа, а a ≠ 0. Именно его знак определяет, подходит ли значение x для неравенства с нулём справа. Например, для сравнения ax² + bx + c ≥ 0 подходят те x, при которых значение трёхчлена неотрицательно. Поэтому его корни и знаки на промежутках — главные ориентиры при решении.

Решение квадратного неравенства — все значения переменной, при которых неравенство становится верным. Ответ записывают промежутком или объединением промежутков, например (−∞; −2) ∪ (2; +∞). Круглая скобка означает, что граница не включена, а квадратная — что включена. Такая запись помогает точно показать и бесконечные промежутки, и то, подходят ли сами корни.

Как это устроено

Сначала неравенство приводят к сравнению трёхчлена с нулём: слагаемые переносят в одну часть, а подобные члены собирают. Например, если справа стоит число, его вычитают из обеих частей. После этого вопрос сводится к знаку одного выражения при разных x. Исследовать его удобнее отдельно, потому что знак показывает, верно ли сравнение с нулём.

Чтобы найти места, где знак может измениться, решают уравнение ax² + bx + c = 0. Его корни — точки, в которых трёхчлен равен нулю; именно при переходе через такие точки выражение может поменять знак. Если корней два, обозначим их x₁ и x₂, причём x₁ < x₂: они разбивают прямую на три промежутка. На каждом из них знак постоянен, поэтому достаточно выяснить, какой знак соответствует каждому участку.

Направление ветвей параболы связано со знаком a: при a > 0 ветви направлены вверх, а при a < 0 — вниз. Если есть два корня, наглядно видно, что при ветвях вверх график расположен ниже оси x между корнями и выше неё снаружи; при ветвях вниз — наоборот. Отсюда следует правило знаков без подстановки множества чисел: снаружи корней знак совпадает со знаком a, а между ними противоположен. Парабола служит графическим способом увидеть тот же знак трёхчлена.

Дискриминант D = b² − 4ac подсказывает, сколько действительных корней есть у уравнения. При D > 0 корней два, при D = 0 — один двойной корень, а при D < 0 корней нет. Если действительных корней нет, график не пересекает ось x, а значит, знак трёхчлена не может смениться; он везде совпадает со знаком a. При D = 0 график касается оси в одной точке, и там значение трёхчлена равно нулю.

Когда знаки на промежутках установлены, выбирают только те участки, где трёхчлен удовлетворяет условию: например, для < 0 нужны отрицательные значения. Затем отдельно проверяют корни. Знаки > и < требуют, чтобы трёхчлен был строго больше или меньше нуля, поэтому точки равенства исключают; знаки ≥ и ≤ допускают равенство, поэтому корни включают. Так получают промежуток либо объединение промежутков.

Знак квадратного трёхчлена ax² + bx + c

Сначала найди строку по дискриминанту и знаку a, затем отметь корни на числовой прямой и выбери подходящие по знаку участки. Для нестрогого неравенства включи корни, а для строгого оставь их за пределами ответа. При D = 0 точка двойного корня включается только в нестрогое решение, если остальные значения трёхчлена подходят.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство x² − 4 > 0.

1. Слева уже стоит квадратный трёхчлен, справа — ноль, поэтому дополнительное преобразование не нужно. Найдём нули выражения: x² − 4 = 0, откуда x = −2 или x = 2. Эти точки разбивают прямую на три промежутка.

2. Здесь a = 1 > 0, значит, ветви параболы направлены вверх. При двух корнях трёхчлен положителен вне корней и отрицателен между ними. Нам нужны положительные значения, а знак > строгий, поэтому сами корни исключаем.

3. Записываем два внешних промежутка и соединяем их знаком объединения. Ответ: (−∞; −2) ∪ (2; +∞).

Задача 2. Решить неравенство −x² + 5x − 6 ≥ 0.

1. Разложим трёхчлен на множители: −x² + 5x − 6 = −(x − 2)(x − 3). Нули равны 2 и 3, поэтому рассматриваем промежутки (−∞; 2), (2; 3) и (3; +∞). Старший коэффициент отрицательный, так что ветви параболы направлены вниз.

2. При двух корнях трёхчлен с отрицательным старшим коэффициентом положителен между корнями и отрицателен снаружи. Неравенство требует неотрицательного значения, поэтому подходят значения между 2 и 3, а также сами корни. Корни включаем, потому что стоит знак ≥.

3. Объединение промежутков вместе с их границами даёт отрезок. Ответ: [2; 3].

Задача 3. Решить неравенство 2x² + 2x + 3 < 0.

1. Вычислим дискриминант: D = 2² − 4 · 2 · 3 = 4 − 24 = −20. Поскольку D < 0, у трёхчлена нет действительных корней, то есть он не обращается в ноль ни при каком действительном x. Его знак на всей прямой остаётся одним и тем же.

2. Старший коэффициент a = 2 положителен, значит, трёхчлен всюду положителен. Требуется найти x, при которых он меньше нуля, но таких значений нет. Ответ: решений нет, ∅.

Типичные ошибки

Ошибка: исследовать выражение, не приведя неравенство к нулю. Так бывает, когда ученик начинает искать знак только одного слагаемого или забывает перенести часть выражения. Но сравнение нужно свести к виду «трёхчлен больше, меньше или равен нулю», иначе правило знаков по его корням применить нельзя. Проверь себя: все слагаемые должны быть в одной части, а во второй должен стоять ноль.

Ошибка: при a < 0 использовать схему для параболы, направленной вверх. Часто запоминают, что между двумя корнями знак отрицательный, и забывают, что это верно лишь при положительном a. Если ветви направлены вниз, знаки меняются на противоположные. Проверь знак старшего коэффициента до разметки промежутков: его знак совпадает со знаком трёхчлена снаружи корней.

Ошибка: неверно включить корни в ответ. При строгих знаках > и < значение трёхчлена в корне равно нулю, поэтому такая точка условию не подходит; при ≥ и ≤ она подходит. Путаница возникает, если смотреть только на выбранный промежуток и не проверять знак сравнения. Сверь скобки с условием: круглые для строгого неравенства, квадратные для допустимых корней.

Ошибка: считать, что при D < 0 трёхчлен всегда положителен. Отсутствие корней означает, что знак не меняется, но не говорит, какой именно знак сохраняется. Его определяет a: при a > 0 трёхчлен положителен, при a < 0 отрицателен. Проверь оба признака отдельно — сначала дискриминант, затем старший коэффициент.

Связь с другими темами

Чтобы решать квадратные неравенства, нужно уметь решать квадратные уравнения, вычислять дискриминант и находить корни трёхчлена. Корни отмечают на координатной прямой, а ответ записывают числовыми промежутками; для определения знаков помогает правило знаков произведения. Позже этот способ пригодится при исследовании параболы, решении систем неравенств и поиске области допустимых значений в задачах.

Что запомнить

• Сначала приведи неравенство к сравнению квадратного трёхчлена с нулём.
• При D > 0 корни делят числовую прямую на промежутки постоянного знака.
• Знак трёхчлена вне двух корней совпадает со знаком старшего коэффициента.
• Между двумя корнями знак трёхчлена противоположен знаку старшего коэффициента.
• При D < 0 знак трёхчлена всюду совпадает со знаком старшего коэффициента.
• Корни включают в ответ при знаках ≥ или ≤, но не при > или <.