4.3.1. Решение квадратных неравенств

Определения и обозначения

Квадратное неравенство — неравенство вида ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≥ 0 или ax² + bx + c ≤ 0, где a ≠ 0. Здесь x — переменная, а a, b и c — числа. Такая запись нужна, чтобы отличать неравенство второй степени от линейного и применять к нему подходящий способ решения.

Стандартный вид квадратного неравенства — запись, в которой все слагаемые перенесены в левую часть, а справа стоит ноль. Например, x² + 2x > 3 приводится к виду x² + 2x − 3 > 0. Стандартный вид позволяет сразу увидеть коэффициенты и исследовать знак одного трёхчлена.

Дискриминант — число D = b² − 4ac, по которому определяют количество действительных корней соответствующего квадратного уравнения. Если D > 0, корней два, если D = 0 — один, а если D < 0 — действительных корней нет. Дискриминант помогает понять, на сколько промежутков разделится числовая прямая.

Решение квадратного неравенства — все значения переменной, при которых неравенство становится верным. Ответ может быть одним или несколькими промежутками, отдельной точкой, всей числовой прямой или пустым множеством. Это определение напоминает, что нужно выбрать именно подходящие значения x, а не только найти корни уравнения.

Как это устроено

Сначала квадратное неравенство приводят к стандартному виду, потому что сравнивать с нулём удобнее всего одну функцию. Её левую часть обозначают y = ax² + bx + c. Тогда решить неравенство означает выяснить, при каких x график функции расположен выше оси Ox, ниже неё или на самой оси. Если справа изначально стоит ненулевое число, его переносят влево, не забывая изменить знак перенесённого слагаемого.

Чтобы найти границы участков, решают уравнение ax² + bx + c = 0. Его корни — точки, в которых график пересекает или касается оси Ox, то есть значение трёхчлена равно нулю. Между такими точками и за их пределами знак функции не меняется: для этого ему пришлось бы пройти через ноль, а нули уже отмечены. Поэтому достаточно проверить знак на каждом получившемся промежутке.

Если a > 0, парабола раскрыта вверх: при больших по модулю значениях x её ветви поднимаются. Когда корней два, между ними график находится ниже оси Ox, а вне корней — выше. Отсюда трёхчлен отрицателен между корнями и положителен снаружи. Это объясняет, почему для строгого неравенства с нулём справа знаки выбирают не наугад, а по положению графика.

Если a < 0, парабола раскрыта вниз, так как член ax² при больших по модулю x становится отрицательным. При двух корнях график выше оси между ними и ниже оси снаружи. Значит, трёхчлен положителен между корнями и отрицателен вне их — ровно наоборот по сравнению со случаем a > 0. Поэтому при выборе промежутков нужно каждый раз смотреть на знак старшего коэффициента.

В корнях трёхчлен равен нулю, и это определяет, входят ли они в ответ. Для знаков ≥ и ≤ равенство допустимо, поэтому подходящие корни включают; на числовой прямой их отмечают закрашенными точками. Для знаков > и < равенство не подходит, поэтому корни исключают и отмечают пустыми точками. При D = 0 знак по обе стороны от единственного корня не меняется, а при D < 0 трёхчлен нигде не обращается в ноль.

Случаи решения квадратного неравенства по дискриминанту и знаку старшего коэффициента

Сначала найди подходящую строку по значению D и знаку a, затем выбери нужный знак трёхчлена согласно неравенству. В последнем столбце указано, какие промежутки подходят; при нестрогом неравенстве не забудь включить корни.

Разбор задач

Решим неравенство x² − 5x + 6 > 0. Здесь удобно разложить левую часть на множители: числа 2 и 3 дают произведение 6 и сумму 5, поэтому x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Коэффициент при x² положителен, значит, трёхчлен положителен вне корней.

1. Находим корни уравнения (x − 2)(x − 3) = 0: x₁ = 2 и x₂ = 3.

2. Разбиваем прямую точками 2 и 3; для знака > 0 выбираем участки с положительным значением трёхчлена.

3. Так как старший коэффициент положителен, подходят внешние промежутки. Знак строгий, поэтому сами корни не включаем.

Ответ: (−∞; 2) ∪ (3; +∞).

Решим неравенство 2x² + x − 3 ≤ 0. В отличие от предыдущего примера, здесь удобнее сначала вычислить дискриминант и получить корни по формуле. Так как коэффициент a положителен, выражение между двумя корнями отрицательно; знак ≤ позволяет включить и сами корни.

1. Вычисляем D = 1² − 4 · 2 · (−3) = 25.

2. Находим корни: x = (−1 ± 5) / 4, откуда x₁ = −3/2 и x₂ = 1.

3. Поскольку a = 2 > 0, трёхчлен не положителен между корнями и равен нулю на концах. Оба конца включаем из-за знака ≤.

Ответ: [−3/2; 1].

Решим неравенство −3x² + 4x + 4 ≥ 0. Старший коэффициент отрицателен, поэтому парабола направлена ветвями вниз. Найдём места, где она пересекает ось Ox, а затем выберем область, в которой график лежит на оси или выше неё.

1. Вычисляем D = 4² − 4 · (−3) · 4 = 64.

2. Находим корни: x = (−4 ± 8) / (−6), поэтому корни равны −2/3 и 2.

3. При a < 0 трёхчлен положителен между корнями. Знак ≥ включает точки, где выражение обращается в ноль.

Ответ: [−2/3; 2].

Типичные ошибки

Выбирать промежутки по запомненному шаблону, не учитывая знак a, — значит перепутать знаки при параболе, направленной вниз. Так происходит, когда ученик запоминает только случай a > 0. Проверь направление ветвей или знак трёхчлена на одном промежутке: при a < 0 знаки при двух корнях обратные.

Включать корни при строгих знаках > и < нельзя: в корне левая часть равна нулю, а ноль не подходит. Ошибку часто вызывает привычка записывать ответ сразу между корнями или снаружи, не проверяя концы. Подставь корень в исходное неравенство: если получается равенство, он не входит в ответ при строгом знаке.

При переносе слагаемых в стандартный вид иногда меняют знак только у части выражения или оставляют прежний знак у перенесённого числа. Причина — невнимательное выполнение одного и того же действия с обеими частями неравенства. Для проверки перепиши равносильное преобразование по одному слагаемому и подставь любой x в исходную и полученную левую часть.

Отрицательный дискриминант не всегда означает отсутствие решений: при D < 0 знак трёхчлена постоянен и зависит от a. Ошибку допускают, если считают, что решение обязательно должно содержать корни. Проверь знак старшего коэффициента и сравни его с требованием: например, при a > 0 выражение всюду положительно, поэтому неравенство > 0 верно для всех x.

Связь с другими темами

Для решения квадратных неравенств нужны навыки решения квадратных уравнений, вычисления дискриминанта и изображения промежутков на числовой прямой. Тема опирается на свойства квадратичной функции и график параболы: его положение помогает определить знак выражения. Этот способ пригодится при исследовании функций, решении систем неравенств и задач, где на переменную наложены ограничения.

Что запомнить

• Сначала приведи неравенство к виду ax² + bx + c ⋚ 0.
• Найди корни соответствующего квадратного уравнения.
• Корни разбивают числовую прямую на промежутки постоянного знака.
• При a > 0 трёхчлен положителен вне корней и отрицателен между ними.
• При a < 0 знаки меняются на противоположные.
• При ≥ и ≤ корни включаются в ответ, при > и < — не включаются.
• При D < 0 знак трёхчлена на всей числовой прямой совпадает со знаком a.

Как это устроено

График функции y = x² − 5x + 6 показывает связь корней с промежутками знакопостоянства. Парабола пересекает ось Ox в точках 2 и 3, лежит выше оси вне этих значений и ниже — между ними.