4.3.2.* Решение квадратных неравенств с параметром

Определения и обозначения

Квадратное неравенство с параметром — неравенство вида a(t)x²+b(t)x+c(t)>0, <0, ≥0 или ≤0, где t считается фиксированным числом, а x — неизвестная. Буквы a(t), b(t), c(t) обозначают коэффициенты, которые могут зависеть от параметра. Это определение помогает сразу понять, что при разных t перед нами могут оказаться разные неравенства.

Параметр — буква, обозначающая число, значение которого выбирает конкретное квадратное неравенство и влияет на его корни и решение. В отличие от x, параметр не меняют во время решения одного конкретного случая. Рассматривая разные значения параметра, мы выясняем, как меняется множество подходящих x.

Дискриминант квадратного трёхчлена — выражение D=b²−4ac, по знаку которого определяют число его действительных корней. Если D>0, корней два; если D=0, один; если D<0, действительных корней нет. Дискриминант нужен, чтобы понять, где график трёхчлена пересекает ось x и как разделить числовую ось на промежутки.

Критическое значение параметра — такое значение, при котором меняется вид неравенства, число корней или взаимное расположение корней. Например, при обращении старшего коэффициента в ноль неравенство перестаёт быть квадратным, а при D=0 два корня сливаются. Эти значения отделяют случаи, для которых решение устроено по-разному.

Как это устроено

В квадратном неравенстве старший коэффициент — это коэффициент при x². Если он зависит от параметра, сначала решают уравнение a(t)=0 и отдельно рассматривают найденные значения. Причина в том, что при a(t)=0 член с x² исчезает, поэтому формулы и правило знаков для квадратного трёхчлена уже неприменимы. Получается линейное неравенство, а иногда — постоянное утверждение, которое проверяют отдельно.

Когда старший коэффициент не равен нулю, число корней определяет дискриминант D=b²−4ac. При D>0 график пересекает ось x в двух точках, при D=0 касается её, а при D<0 не встречает её вовсе. Знак трёхчлена может измениться только в его корнях, поэтому знание их числа помогает правильно разделить ось x. Если корней нет, знак во всех точках один и тот же.

При двух корнях x₁

Чтобы найти критические значения параметра, решают уравнения a(t)=0 и D(t)=0. Первое указывает, когда меняется степень выражения, а второе — когда меняется число действительных корней. Иногда нужно также выяснить, при каких значениях параметра корень совпадает с отмеченной точкой или меняет положение относительно другой границы. После нахождения всех таких значений числовую ось параметра делят на промежутки.

Внутри каждого полученного промежутка знак старшего коэффициента и знак дискриминанта не меняются, поэтому тип решения там остаётся одинаковым. Для проверки выбирают любое удобное значение параметра из этого промежутка и решают полученное неравенство по обычному правилу. На границах промежутков параметр проверяют отдельно: там может исчезнуть квадратный член или появиться двойной корень. Так ответ охватывает все значения параметра, а не только выбранные примеры.

Случаи решения квадратного неравенства по знаку старшего коэффициента и дискриминанта

Сначала найдите подходящую строку по знакам старшего коэффициента и дискриминанта, а затем подставьте корни своего трёхчлена. Круглые скобки означают, что конец промежутка не входит в ответ, квадратные — что входит. При a=0 таблица не заменяет решение: нужно решить полученное линейное неравенство.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство x²−(a+1)x+a>0 в зависимости от параметра a.

1. Разложим выражение на множители: x²−(a+1)x+a=(x−1)(x−a). Корни — 1 и a, а старший коэффициент всегда положителен.
2. Сравним корни. Если a<1, порядок корней такой: a<1. Произведение положительно снаружи корней, поэтому x<a или x>1.
3. Если a>1, корни расположены в порядке 1<a. Решение снова лежит снаружи: x<1 или x>a.
4. Если a=1, получаем (x−1)²>0. Квадрат положителен при всех x, кроме x=1, где он равен нулю.

Ответ: при a<1: (−∞; a) ∪ (1; +∞); при a=1: (−∞; 1) ∪ (1; +∞); при a>1: (−∞; 1) ∪ (a; +∞).

Задача 2. Решить неравенство x²−2ax+a²−1≤0 при всех значениях параметра a.

1. Сгруппируем слагаемые, чтобы увидеть квадрат двучлена: x²−2ax+a²−1=(x−a)²−1.
2. Найдём корни: (x−a)²−1=0, значит (x−a)²=1 и x=a−1 или x=a+1. Поскольку коэффициент при x² положителен, выражение не больше нуля между корнями.
3. Знак ≤ включает точки, где выражение равно нулю. Поэтому оба корня входят в ответ, независимо от того, положительно или отрицательно значение a.

Ответ: x ∈ [a−1; a+1] при любом a.

Задача 3. Решить неравенство (a−2)x²+4x+a≥0.

1. Проверим, когда исчезает квадратный член: a−2=0 при a=2. Также найдём дискриминант: D=16−4a(a−2)=4(5−(a−1)²). Он равен нулю при a=1−√5 и a=1+√5.
2. Обозначим α=1−√5 и β=1+√5. При a<α дискриминант отрицателен, а старший коэффициент отрицателен, поэтому трёхчлен всегда отрицателен и решений нет.
3. При a=α имеется двойной корень x₀=−2/(a−2). Ветви направлены вниз, поэтому трёхчлен не превосходит нуля и равен нулю только в этой точке. При α<a<2 есть два корня, старший коэффициент отрицателен, значит неотрицательные значения находятся между корнями.
4. При a=2 остаётся линейное неравенство 4x+2≥0, откуда x≥−½. При 2<a<β старший коэффициент положителен и корней два, поэтому подходят значения снаружи корней, включая сами корни.
5. При a=β трёхчлен имеет двойной корень и положительный старший коэффициент, значит он неотрицателен при всех x. При a>β дискриминант отрицателен, а старший коэффициент положителен, поэтому также подходят все действительные x.

Ответ: при a<α решений нет; при a=α: x=−2/(a−2); при α<a<2 — отрезок между корнями −2/(a−2)−√D/(2|a−2|) и −2/(a−2)+√D/(2|a−2|); при a=2: x≥−½; при 2<a<β — значения вне промежутка между корнями, включая корни; при a≥β — все x. Здесь D=4(5−(a−1)²), а при a=β этот случай включает двойной корень.

Типичные ошибки

Решают неравенство как квадратное при значении параметра, когда старший коэффициент равен нулю. Так происходит, если подставляют параметр в формулу корней, не проверив коэффициент при x²; формула тогда неприменима. Проверка: до вычисления дискриминанта найдите, при каких значениях параметра старший коэффициент обращается в ноль, и решите эти случаи отдельно.

Используют одну и ту же схему знаков при любом старшем коэффициенте. Часто запоминают, что «между корнями минус», но это верно только при положительном старшем коэффициенте. Проверить себя можно по поведению трёхчлена при больших |x|: знак снаружи корней должен совпадать со знаком коэффициента при x².

Не разбивают значения параметра по точкам, где дискриминант равен нулю. Из-за этого пропускают случай двойного корня, в котором трёхчлен касается оси и не меняет знак. Решите уравнение D=0 и проверьте найденные значения отдельно от промежутков между ними.

Неверно включают или исключают корни в ответе. Причина — невнимание к знаку неравенства: при строгом знаке корни не подходят, а при нестрогом равенство разрешено. Для проверки подставьте каждый корень в исходный трёхчлен: получите ноль, который удовлетворяет знакам ≥ и ≤, но не знакам > и <.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужны метод промежутков для квадратных неравенств, формула корней и свойства дискриминанта. Эти знания связываются с исследованием квадратного трёхчлена: нужно определить его знак и расположение корней при меняющихся коэффициентах. Метод пригодится в системах неравенств и задачах, где требуется найти все значения параметра. Он также используется при исследовании функций, уравнений и неравенств с параметром.

Что запомнить

• Параметр считают фиксированным числом, а x — неизвестной.
• Сначала проверяют, не обращается ли старший коэффициент в ноль.
• Знак дискриминанта определяет число действительных корней.
• Знак квадратного трёхчлена зависит от старшего коэффициента и положения корней.
• Критические значения параметра делят ось параметров на отдельные случаи.
• Корни включают в ответ только при нестрогом неравенстве.
• Для каждого промежутка значений параметра нужно получить свой вид решения.