"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Квадратное неравенство содержит выражение с x² и после преобразований сравнивает квадратный трёхчлен с нулём. Нужно определить, при каких значениях x трёхчлен положителен или отрицателен. Для этого находят корни соответствующего уравнения: они делят числовую прямую на промежутки, где знак выражения не меняется. Затем учитывают направление ветвей параболы и решают, включать ли корни в ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное неравенство — неравенство, которое после переноса всех членов в одну часть имеет вид ax² + bx + c > 0, < 0, ≥ 0 или ≤ 0, где a ≠ 0. Например, неравенство x² − 5x + 6 ≥ 0 уже записано в таком виде. Это преобразование позволяет сосредоточиться на знаке одного выражения, а не сравнивать две разные части.
Квадратный трёхчлен — выражение ax² + bx + c, знак которого исследуют при решении неравенства. Коэффициенты a, b и c — числа, причём a не равно нулю, иначе выражение не было бы квадратным. Трёхчлен можно представить как функцию y = ax² + bx + c и рассматривать его график-параболу. Знак функции показывает, выше или ниже оси Ox находится график.
Корни квадратного трёхчлена — значения x, при которых ax² + bx + c = 0. Они являются точками пересечения графика с осью Ox, если такие точки существуют. Корни делят числовую прямую на промежутки, внутри которых знак трёхчлена не меняется. Поэтому сначала находят именно их, а затем исследуют полученные промежутки.
Метод интервалов — способ решения неравенства по знакам квадратного трёхчлена на промежутках между его корнями. Корни отмечают на числовой прямой и определяют знак выражения в каждом образовавшемся промежутке. Затем оставляют те промежутки, на которых знак соответствует условию задачи. При нестрогом неравенстве к выбранным промежуткам добавляют точки, где трёхчлен равен нулю.
Сначала все слагаемые переносят в одну часть, а во второй оставляют ноль. При переносе слагаемого через знак равенства его знак меняется, поэтому после преобразования нужно проверить вычисления. Получается сравнение квадратного трёхчлена с нулём: достаточно выяснить, где он положителен или отрицателен. Именно знак выражения определяет, выполняется исходное неравенство или нет.
Число корней определяет дискриминант D = b² − 4ac. Если D > 0, уравнение имеет два корня, и прямая делится ими на три промежутка; если D = 0, есть один корень и два промежутка; если D < 0, корней нет и границ для разбиения не возникает. Поэтому перед разметкой прямой полезно вычислить дискриминант. При двух корнях их находят по формуле x = (−b ± √D)/(2a).
Коэффициент a задаёт направление ветвей параболы: при a > 0 они направлены вверх, при a < 0 — вниз. Если парабола пересекает ось Ox в двух точках, то при ветвях вверх график находится выше оси снаружи корней и ниже между ними. При ветвях вниз всё наоборот. Так направление параболы объясняет, почему знак выражения вне корней совпадает со знаком a, а между корнями противоположен ему.
Знак трёхчлена не может измениться внутри промежутка, не пройдя через ноль: выражение ax² + bx + c непрерывно меняется вместе с x. А нули уже отмечены на границах промежутков, поэтому внутри каждого промежутка знак постоянен. Из-за этого достаточно взять по одной удобной точке из каждого промежутка и подставить её в трёхчлен. Если знаки известны по виду параболы, такую проверку можно заменить рассуждением по графику.
Сначала выбирают те промежутки, где трёхчлен имеет нужный знак: положительный для > 0 и неположительный для ≤ 0, например. Затем решают, включать ли граничные точки. В корнях трёхчлен равен нулю, поэтому их включают при ≥ 0 и ≤ 0, но исключают при > 0 и < 0. Это различие между строгими и нестрогими знаками меняет запись ответа даже тогда, когда выбранные промежутки одинаковы.
График y = x² − 5x + 6 пересекает ось Ox в корнях x = 2 и x = 3. Парабола расположена выше оси на внешних промежутках и ниже — между корнями.
| Условия | Знаки на промежутках | Решение ax² + bx + c > 0 | Решение ax² + bx + c < 0 |
|---|---|---|---|
| D > 0, a > 0 | «+» вне корней, «−» между корнями | Вне корней | Между корнями |
| D > 0, a < 0 | «−» вне корней, «+» между корнями | Между корнями | Вне корней |
| D = 0, a > 0 | «+» при x ≠ x₀, ноль при x = x₀ | Все x, кроме x₀ | Решений нет |
| D = 0, a < 0 | «−» при x ≠ x₀, ноль при x = x₀ | Решений нет | Все x, кроме x₀ |
| D < 0, a > 0 | Трёхчлен всегда положителен | Все действительные числа | Решений нет |
| D < 0, a < 0 | Трёхчлен всегда отрицателен | Решений нет | Все действительные числа |
| Нестрогие неравенства | Знак выбирают по условию, корни включают | Для ≥ 0 и ≤ 0 добавляют точки, где трёхчлен равен нулю | |
Сначала найди строку с подходящими D и a, затем выбери знак неравенства и соответствующие промежутки. Слова «вне корней» означают два луча, а «между корнями» — промежуток между ними. Для нестрогих неравенств дополнительно включи корни, если они существуют.
Задача 1. Решить неравенство x² − 5x + 6 ≥ 0.
Ответ: x ∈ (−∞; 2] ∪ [3; +∞).
Задача 2. Решить неравенство x² − 4x + 1 > 0.
Ответ: x ∈ (−∞; 2 − √3) ∪ (2 + √3; +∞).
Задача 3. Решить неравенство −2x² + 4x + 3 > 0.
Ответ: x ∈ (1 − √10/2; 1 + √10/2).
Если не перенести все слагаемые в одну часть, можно исследовать знак не того выражения. Так бывает, когда сразу начинают искать промежутки, не приведя неравенство к сравнению с нулём. Проверь, что справа действительно стоит 0, а все перенесённые слагаемые изменили знак. После этого подставь простое значение x и сравни результат с исходным неравенством.
При отрицательном a нельзя выбирать промежутки так же, как при положительном: знаки трёхчлена меняются на противоположные. Ошибку провоцирует привычка запоминать только один случай, не учитывая направление ветвей параболы. Перед выбором ответа посмотри на знак коэффициента при x². Для проверки можно подставить число из промежутка в трёхчлен.
Корни нельзя автоматически включать или исключать, не посмотрев на знак неравенства. При строгих знаках > и < в корнях выражение равно нулю, поэтому они не подходят; при ≥ и ≤ подходят. Чтобы себя проверить, подставь каждый корень в исходный трёхчлен: если равенство нулю допустимо условием, точку включают. На прямой включённую точку обозначают закрашенной.
Если D < 0, иногда ошибочно пишут, что решений нет, не проверив знак a. Без корней трёхчлен сохраняет знак на всей числовой прямой, а этот знак определяется коэффициентом при x². Сверь знак a с требуемым знаком неравенства: они совпали — подходят все числа, не совпали — решений нет. Проверка подстановкой одного значения поможет убедиться в выводе.
Для решения квадратных неравенств нужны навыки решения квадратных уравнений: дискриминант, формула корней и разложение трёхчлена на множители помогают найти точки смены знака. Затем корни отмечают на координатной прямой и записывают ответ числовыми промежутками, поэтому важно уметь объединять лучи и промежутки. Этот метод пригодится при исследовании функций, решении систем неравенств и задач, где на переменную наложены ограничения. Во всех этих случаях нужно определить, при каких значениях выражение удовлетворяет заданному условию.
Почему при решении квадратного неравенства нужно искать корни соответствующего уравнения?
Корни уравнения ax² + bx + c = 0 — точки, где квадратный трёхчлен равен нулю. Они разделяют числовую прямую на промежутки, внутри которых знак трёхчлена постоянен. Поэтому, зная корни, можно определить, где неравенство выполняется.
Как понять, какие промежутки выбирать при положительном и отрицательном коэффициенте a?
Если корней два, при a > 0 трёхчлен положителен вне корней и отрицателен между ними. При a < 0 знаки меняются на противоположные. Выбирай промежутки, где знак выражения соответствует неравенству.
Что делать, если дискриминант равен нулю?
Трёхчлен имеет один корень x₀ и может быть записан как a(x − x₀)². Вне этой точки его знак совпадает со знаком a, а в точке он равен нулю. Для строгого неравенства корень не подходит, для нестрогого его учитывают.
Почему при D < 0 иногда решение — вся числовая прямая, а иногда — пустое множество?
Если D < 0, корней нет, поэтому трёхчлен не обращается в ноль и сохраняет один знак на всей числовой прямой. Этот знак совпадает со знаком коэффициента a. Значит, выражение либо подходит неравенству при всех x, либо не подходит ни при одном.
Когда корни нужно включать в ответ?
При нестрогих неравенствах ≥ 0 и ≤ 0 корни включают: в них выражение равно нулю. При строгих знаках > 0 и < 0 корни исключают. На числовой прямой это обычно показывают закрашенными и пустыми точками соответственно.
§ 34. Решение квадратных неравенств
