§ 33. Решение линейных неравенств

Определения и обозначения

Линейное неравенство — неравенство с одной переменной, в котором переменная входит в первой степени, например ax + b > 0 или ax − b ≤ 0. Здесь a и b — числа, а знак может быть строгим или нестрогим. Это название помогает отличать такие задачи от неравенств, где есть, например, x². Обычно неравенство приводят к виду, в котором переменную можно выразить отдельно.

Решение неравенства — значение переменной, при котором неравенство становится верным. Например, число 5 является решением x > 2, но число 1 — нет. Как правило, решений много, поэтому указывают не одно число, а всё множество подходящих значений. По нему можно понять, какие числа разрешено подставлять вместо переменной.

Равносильные неравенства — неравенства с одним и тем же множеством решений. Например, 2x > 6 и x > 3 равносильны: оба выполняются при одних и тех же x. Преобразования при решении должны сохранять равносильность, иначе ответ изменится. Это понятие позволяет переходить от исходного неравенства к более простому.

Числовой промежуток — способ записать множество решений с помощью скобок и обозначений бесконечности. Например, x > 3 записывают как (3; +∞), а x ≥ 3 — как [3; +∞). Круглая скобка означает, что граница не входит, квадратная — что входит. Такой ответ короче списка чисел и сразу показывает все подходящие значения.

Как это устроено

Сначала неравенство приводят к виду ax > b или ax < b. Для этого раскрывают скобки, если они есть, собирают слагаемые с x в одной части, а числа — в другой. При переносе слагаемого выполняют одно и то же действие с обеими частями: например, вычитают 4 из каждой. Поэтому знак у переносимого слагаемого меняется, а знак самого неравенства остаётся прежним.

Прибавление или вычитание одного и того же числа сохраняет знак неравенства. Если к обоим числам прибавить 7, расстояние между ними не изменится и их порядок останется прежним: из 2 < 5 следует 9 < 12. То же верно для переменных выражений, если одинаковое число прибавляют к обеим частям. Поэтому свободные слагаемые можно переносить, не переворачивая знак неравенства.

После переноса нужно разделить обе части на коэффициент при x. Если коэффициент положительный, порядок чисел сохраняется: например, 4 < 8 даёт 2 < 4 после деления на 2. При делении на отрицательное число порядок переворачивается: из 4 < 8 следует −2 > −4 после деления на −2. Поэтому при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак обязательно меняют на противоположный.

Граничное значение — число, на котором знак неравенства превращается в равенство. При строгих знаках > и < оно не подходит: например, x > 3 не выполняется при x = 3. При нестрогих знаках ≥ и ≤ равенство разрешено, поэтому граничное значение входит в решение. Это различие затем отражают квадратной или круглой скобкой.

Найдя условие на x, запишите множество решений промежутком и отметьте его на числовой прямой. Для x > 3 точку 3 оставляют пустой и проводят луч вправо, а для x ≤ 3 точку закрашивают и проводят луч влево. Луч направляют к большим числам при знаках > и ≥, а к меньшим — при < и ≤. На бесконечности всегда ставят круглую скобку, потому что бесконечность не является числом, которое можно включить в решение.

Решение простейших линейных неравенств

Найдите в таблице строку с нужным знаком и определите, положителен или отрицателен коэффициент a. Если a отрицателен, направление знака меняется, а граничная точка вычисляется так же: b/a. При нестрогом знаке границу включают в промежуток; если a = 0, сначала отдельно проверяют получившееся числовое неравенство.

Разбор задач

Решим неравенство 3x − 7 > 5. Нужно оставить выражение с x в одной части, а числа — в другой, поэтому сначала устраним −7. Затем разделим обе части на положительное число 3: знак при этом сохранится.

1. Прибавим 7 к обеим частям: 3x − 7 + 7 > 5 + 7, значит, 3x > 12. Равенство действий над обеими частями сохраняет множество решений.

2. Разделим обе части на 3: x > 4. Число 4 не входит в решение, потому что исходный знак строгий.

Ответ: x ∈ (4; +∞). Например, x = 5 подходит, а x = 4 не подходит.

Теперь решим 5 − 2x ≤ 11. Переменная уже есть в выражении, но коэффициент при ней отрицателен. Поэтому при делении на него знак потребуется изменить, а граничное значение включить из-за знака ≤.

1. Вычтем 5 из обеих частей: −2x ≤ 6. Мы убрали число 5, не меняя направление исходного знака.

2. Разделим обе части на −2 и развернём знак: x ≥ −3. При делении на отрицательное число направление меняется, а равенство сохраняется.

Ответ: x ∈ [−3; +∞). Проверка: при x = 0 исходное неравенство даёт 5 ≤ 11, то есть верное утверждение.

Разберём неравенство 2(3x − 1) − 4(x + 2) < 6. Здесь сначала нужно раскрыть скобки, иначе нельзя правильно собрать слагаемые с x и числа. Особенно внимательно следим за знаком минус перед второй скобкой: он меняет знаки обоих слагаемых в ней.

1. Раскроем скобки: 6x − 2 − 4x − 8 < 6. Перед −4 стоят скобки, поэтому −4 умножается и на x, и на 2.

2. Приведём подобные слагаемые: 2x − 10 < 6. Переменные объединили с переменными, числа — с числами.

3. Прибавим 10 к обеим частям: 2x < 16, затем разделим на 2: x < 8. Делитель положителен, поэтому знак не меняется.

Ответ: x ∈ (−∞; 8). На прямой нужно поставить пустую точку в 8 и отметить луч влево, потому что подходят числа меньше 8.

Типичные ошибки

• Не менять знак при делении на отрицательное число — ошибка, которая часто возникает из-за привычки решать уравнения, где знак равенства не переворачивают. Но неравенство описывает порядок чисел, а умножение на отрицательное число этот порядок меняет. Проверьте правило на примере 2 < 5: после умножения на −1 получаем −2 > −5.

• Выбирать скобку у границы, не учитывая знак, — значит случайно включить или исключить решение. Это происходит, когда промежуток записывают автоматически, не проверяя граничное значение. Подставьте границу в неравенство: если получается равенство, оно допускается только при знаке ≤ или ≥, то есть нужна квадратная скобка.

• При переносе забывать изменить знак слагаемого — распространённая ошибка при переходе от записи к записи. Слагаемое меняет знак не из-за пересечения черты, а потому что его прибавляют или вычитают из обеих частей. Проверяйте каждый перенос обратным действием: например, −7, перенесённое вправо, становится +7.

• Записывать только одно найденное значение — значит спутать решение неравенства с решением уравнения. Например, для x > 4 подходят не только 5, но и все числа больше 4. Чтобы проверить полноту ответа, запишите промежуток и отметьте на прямой все числа по нужную сторону границы.

Связь с другими темами

Для решения линейных неравенств нужны умения раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и решать линейные уравнения. Также важно уверенно выполнять действия с отрицательными числами, особенно деление на отрицательное число. Эти навыки помогают преобразовывать выражения без потери правильного знака.

Линейные неравенства используют при решении систем и совокупностей неравенств. Система требует, чтобы значение удовлетворяло нескольким условиям одновременно, а совокупность — хотя бы одному из них. Ответы удобно сопоставлять как промежутки на числовой прямой.

Позже неравенства пригодятся при изучении линейной функции, областей допустимых значений и квадратных неравенств. График линейной функции помогает увидеть, на каких участках её значения положительны или отрицательны. Умение записывать множество решений промежутком затем используется и для более сложных выражений.

Что запомнить

• Линейное неравенство содержит переменную только в первой степени.
• К обеим частям неравенства можно прибавлять и вычитать одно и то же число.
• При умножении или делении на положительное число знак неравенства не меняется.
• При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Строгие знаки соответствуют круглым скобкам, а нестрогие — квадратным.
• Ответ линейного неравенства обычно является промежутком или объединением промежутков.
• Полученное решение полезно проверять подстановкой пробного значения.