Решение линейных неравенств

Определения и обозначения

Линейное неравенство с одной переменной — неравенство вида ax + b > 0 или с другим знаком сравнения, где a и b — числа, а x — переменная. После раскрытия скобок и упрощения переменная входит только в первой степени. Такой вид помогает применить общие правила решения и понять, какое преобразование сделать следующим.

Решение неравенства — значение переменной, при котором неравенство становится верным. Например, число 4 является решением x + 1 > 3, потому что 4 + 1 > 3. Множество решений — все значения, подходящие условию; оно показывает полный ответ, а не только один пример.

Равносильные неравенства — неравенства, у которых совпадают множества решений. Их можно получать друг из друга допустимыми преобразованиями, например прибавлением одного числа к обеим частям. Понятие равносильности позволяет упрощать запись, не теряя и не добавляя подходящие значения переменной.

Числовой промежуток — способ записать множество чисел, указав, какие границы входят в него. Например, x > 2 записывают как (2; +∞), а x ≥ 2 — как [2; +∞). Такая запись компактна и сразу показывает, включено ли граничное число.

Как это устроено

Сначала неравенство приводят к более простому виду: раскрывают скобки и собирают подобные слагаемые. Например, если в обеих частях есть выражения с x, их можно объединить в одной части, а числа — в другой. Так получают сравнение вида ax > b или ax < b; переменную становится проще изолировать. При раскрытии скобок важно умножить на число перед скобками каждый член внутри них.

Прибавление или вычитание одного и того же числа в обеих частях не меняет множество решений. Если к двум сравниваемым числам прибавить одно число, их взаимный порядок останется прежним: например, из 2 < 5 следует 2 + 3 < 5 + 3. Поэтому свободное слагаемое можно убрать из одной части, выполнив такое же действие с другой. При переносе слагаемого меняется его знак, но знак неравенства сохраняется.

Умножение или деление обеих частей на положительное число сохраняет знак сравнения, потому что порядок чисел не меняется. Например, из 2 < 5 следует 2 · 3 < 5 · 3. С отрицательным числом порядок становится обратным: −6 < −2, хотя 6 > 2. Поэтому при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства обязательно меняют на противоположный.

После переноса слагаемых получается ax > b или похожее сравнение, и нужно разделить обе части на коэффициент a. Если a > 0, знак остаётся прежним и из ax > b следует x > b/a; если a < 0, знак меняется и получается x < b/a. Для знаков <, ≥ и ≤ направление сравнения учитывают тем же способом. Если a = 0, делить нельзя: переменная исчезает, и нужно проверить, верно ли оставшееся числовое неравенство.

Запись ответа зависит от того, входит ли граница в множество решений. Для строгих знаков < и > граничное число не подходит, поэтому на прямой его отмечают выколотой точкой, а в записи промежутка используют круглую скобку. При знаках ≤ и ≥ граница включается: ставят закрашенную точку и квадратную скобку. Например, x ≥ 2 означает промежуток [2; +∞), а x < 2 — (−∞; 2).

Преобразования линейного неравенства

Пользуйся таблицей перед каждым действием, особенно перед делением: сначала определи знак числа, на которое делишь. Если коэффициент равен нулю, переходи к проверке числового условия, а не к делению. После решения проверь, включена ли граница в ответ.

Разбор задач

Задача 1

Решить неравенство x + 4 > 7 и записать ответ промежутком. Нужно оставить x отдельно, не меняя множества решений. Для этого избавимся от прибавленных четырёх единиц с помощью вычитания одного и того же числа в обеих частях.

1. Вычтем 4 из левой и правой частей: x + 4 − 4 > 7 − 4.
2. Упростим: x > 3. Знак остался прежним, потому что вычитали одинаковое число.
3. Число 3 не входит в решение: знак строгий. Запишем все числа больше 3 промежутком.

Ответ: x ∈ (3; +∞). На числовой прямой в точке 3 ставят выколотую точку и выделяют луч вправо.

Задача 2

Решить неравенство 3x − 5 ≤ 7. Сначала нужно убрать свободное слагаемое, а затем разделить на коэффициент при x. Поскольку коэффициент равен положительному числу 3, при делении направление знака не изменится.

1. Прибавим 5 к обеим частям: 3x − 5 + 5 ≤ 7 + 5, то есть 3x ≤ 12.
2. Разделим обе части на 3. Число 3 положительное, поэтому знак ≤ сохраняется.
3. Получим x ≤ 4. Граница входит в ответ, так как неравенство нестрогое.

Ответ: x ∈ (−∞; 4]. На прямой точка 4 закрашенная, а подходящие значения расположены левее неё.

Задача 3

Решить неравенство 4 − 2(3x + 1) > 5x − 9. Здесь скобки мешают сразу собрать слагаемые с переменной, поэтому сначала раскроем их. Затем перенесём все слагаемые с x в одну часть, а числа — в другую.

1. Раскроем скобки: 4 − 6x − 2 > 5x − 9. Приведём подобные слева: 2 − 6x > 5x − 9.
2. Вычтем 5x из обеих частей: 2 − 11x > −9. Затем вычтем 2: −11x > −11.
3. Разделим обе части на −11. Число отрицательное, поэтому меняем знак: x < 1.
4. Граница 1 не входит в ответ, потому что знак строгий.

Ответ: x ∈ (−∞; 1). Проверка, например, числом 0 подтверждает результат: при x = 0 исходное неравенство превращается в 2 > −9.

Типичные ошибки

Не меняют знак при делении на отрицательное число. Ошибка возникает, когда правило деления переносят с положительных чисел на отрицательные и забывают, что порядок чисел обращается. Например, из −2x > 6 следует x < −3, а не x > −3. Проверь себя, подставив число из полученного промежутка в исходное неравенство.

Меняют знак неравенства при переносе слагаемого. При переносе меняется знак слагаемого, а сравнение остаётся прежним: x + 4 > 7 превращается в x > 7 − 4. Такую путаницу допускают, смешивая перенос с делением на отрицательное число. Проверка проста: запиши вместо переноса вычитание или прибавление одинакового числа в обеих частях.

Неверно решают, входит ли граница в ответ. Иногда точку включают при строгом знаке или исключают при нестрогом, потому что смотрят только на найденное число. Для проверки подставь граничное значение: при знаке < или > неравенство на границе станет равенством и будет неверным, а при ≤ или ≥ — верным. На прямой это соответственно выколотая или закрашенная точка.

Делят на коэффициент, не проверив, равен ли он нулю. Деление на ноль невозможно, поэтому такой шаг не имеет смысла. Ошибку легко допустить, если механически следовать привычному алгоритму и не посмотреть на коэффициент. Сначала проверь его: при нуле переменная исчезает, после чего числовое неравенство либо верно для всех чисел, либо не имеет решений.

Связь с другими темами

Для решения неравенств нужны преобразования выражений: раскрытие скобок, перенос слагаемых и приведение подобных. Если эти действия знакомы, можно быстро привести исходную запись к виду, где переменную легко изолировать. Правила работы со знаком неравенства дополняют обычные преобразования выражений.

Ответ полезно уметь представлять сразу несколькими способами: сравнением с числом, числовым промежутком и отметкой на числовой прямой. Для этого нужно сравнивать числа и различать включённую и невключённую границы. Одна форма записи помогает проверить другую.

Линейные неравенства применяют при решении систем, когда должны одновременно выполняться несколько условий. Они также помогают описывать ограничения в задачах: например, определить допустимые значения величины или понять, при каких значениях выполняется заданное условие.

Что запомнить

• Прибавление или вычитание одного числа в обеих частях сохраняет знак неравенства.
• Умножение или деление на положительное число сохраняет знак неравенства.
• При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Строгому неравенству соответствуют открытые границы промежутка.
• Нестрогому неравенству соответствуют включённые границы промежутка.
• Если коэффициент при переменной равен нулю, нужно проверить истинность числового неравенства.