"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Числовые неравенства сравнивают числа и помогают устанавливать, какое из них больше или меньше. Их свойства нужны, чтобы преобразовывать записи, не теряя исходных решений. Прибавление сохраняет знак, умножение на положительное число тоже, а умножение на отрицательное меняет его на противоположный. Эти правила лежат в основе решения линейных неравенств, систем и доказательства сравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое неравенство — это сравнение двух чисел с помощью знаков >, <, ≥ или ≤. Запись 7 > 2 истинна, потому что семь действительно больше двух, а 3 ≤ 3 истинна, потому что равенство разрешено. Умение определять истинность неравенства нужно, чтобы проверять вычисления и понимать, какие значения подходят.
Строгое неравенство записывают знаками > или <. Оно утверждает, что сравниваемые числа различаются: запись x < 5 не включает значение x = 5. Такие знаки используют, когда граница не входит в множество допустимых значений.
Нестрогое неравенство содержит знак ≥ или ≤. Равенство в нём допускается, поэтому x ≥ 2 означает «x больше или равно 2». Это обозначение нужно, когда граничное значение также является решением.
Равносильные неравенства имеют одно и то же множество решений. Например, x + 4 > 9 и x > 5 равносильны, потому что оба требуют x > 5. При преобразовании неравенства важно сохранять решения: иначе можно добавить лишние значения или потерять правильные.
Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства сохраняет порядок. На числовой прямой обе точки сдвигаются на одинаковое расстояние и в одном направлении, поэтому расстояние между ними не меняется. Если a > b, то после прибавления c получаем a + c > b + c, даже когда c отрицательно.
Умножение или деление на положительное число также сохраняет знак. Положительное число растягивает или сжимает расстояния от нуля, но не меняет расположение точек слева направо. Поэтому из a > b и c > 0 следуют ac > bc и a/c > b/c.
Отрицательное число не только меняет масштаб, но и отражает числовую прямую относительно нуля. Точка справа оказывается слева, а точка слева — справа, поэтому порядок становится обратным. Значит, при умножении или делении на c < 0 знак нужно перевернуть: из a > b следует ac < bc и a/c < b/c.
Транзитивность позволяет сравнивать крайние числа в цепочке. Если a > b, а b > c, то число a расположено правее b, которое расположено правее c, значит, a правее c и a > c. Это свойство помогает объединять несколько сравнений и переходить от промежуточного числа к нужному результату.
Неравенства одного направления можно складывать почленно: из a > b и c > d получается a + c > b + d. При сложении разность левой и правой частей складывается из двух положительных разностей, поэтому остаётся положительной. Почленное умножение требует условия положительности: если a > b > 0 и c > d > 0, то ac > bd, поскольку каждый множитель в первой паре больше соответствующего множителя во второй.
В таблице a, b, c и d — числа, а знак > можно заменить на <, если изменить направление рассуждения. Перед применением правила проверьте условие, особенно знак числа, на которое выполняется умножение или деление. Это помогает не потерять решения при преобразовании.
| Свойство | Условие | Что можно сделать | Результат |
|---|---|---|---|
| Прибавление одного числа | a > b | Прибавить к обеим частям c | a + c > b + c |
| Умножение или деление на положительное число | a > b, c > 0 | Умножить или разделить обе части на c | ac > bc; a/c > b/c |
| Умножение или деление на отрицательное число | a > b, c < 0 | Умножить или разделить обе части на c | ac < bc; a/c < b/c |
| Транзитивность | a > b, b > c | Сравнить крайние числа | a > c |
| Почленное сложение | a > b, c > d | Сложить неравенства | a + c > b + d |
| Почленное умножение положительных неравенств | a > b > 0, c > d > 0 | Перемножить соответствующие части | ac > bd |
Условие: преобразуйте неравенство 7 > 2, прибавив к обеим частям −5. Нужно применить правило прибавления одного и того же числа. Знак при этом не меняется.
Ответ: 2 > −3.
Условие: решить неравенство −3x > 12. Переменная умножена на отрицательное число, поэтому для её освобождения нужно разделить обе части на −3. Именно на этом шаге направление знака изменится.
Ответ: x < −4.
Условие: известно, что 5 > 2 и 4 > 1. Требуется получить неравенство для суммы и произведения соответствующих частей. Для суммы достаточно одинакового направления, а для произведения нужно убедиться, что все числа положительны.
Ответ: для суммы 9 > 3, для произведения 20 > 2.
При умножении или делении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Так происходит, если забывают, что числовая прямая отражается и порядок меняется. Проверьте себя на примере 2 > 1: после умножения на −1 верно −2 < −1.
Другая ошибка — менять знак при прибавлении отрицательного числа. Отрицательное прибавление является обычным сдвигом обеих частей, поэтому знак сохраняется. Можно подставить 7 > 2 и получить 7 − 5 = 2 > −3.
Нельзя автоматически перемножать неравенства, не проверив положительность чисел. При отрицательных или разноимённых множителях порядок произведений может измениться. Перед умножением убедитесь, что обе пары чисел положительны.
Неверно считать, что из a > b всегда следует a² > b². Например, −3 < 2, но 9 > 4, поэтому направление не сохраняется. Перед возведением в квадрат выясните знаки обеих частей и отдельно проверьте граничные случаи.
До изучения свойств неравенств нужно уметь сравнивать числа и ориентироваться на числовой прямой. Также понадобятся правила действий с положительными и отрицательными числами. Без этого трудно понять, почему знак иногда сохраняется, а иногда меняется.
Эти правила непосредственно применяются при решении линейных неравенств. С их помощью переносят слагаемые, делят на коэффициент и преобразуют системы неравенств. Каждый такой шаг должен сохранять множество решений.
Понимание сохранения и изменения знака пригодится при равносильных преобразованиях. Оно также нужно для доказательства неравенств, когда одно сравнение превращают в другое. Проверка условий помогает отличить верное преобразование от случайного совпадения.
Почему при делении на отрицательное число знак неравенства меняется?
Деление на отрицательное число отражает точки числовой прямой относительно нуля. Поэтому порядок чисел становится обратным: если a > b, то при c < 0 выполняется a/c < b/c.
Нужно ли менять знак, если к обеим частям прибавляют отрицательное число?
Нет, знак менять не нужно. Прибавление одного и того же числа сдвигает обе точки числовой прямой на одинаковое расстояние, поэтому их порядок сохраняется.
Можно ли возвести обе части неравенства в квадрат?
Не всегда. Например, из −3 < 2 нельзя получить 9 < 4, потому что квадрат меняет порядок чисел с разными знаками. Возведение в квадрат требует дополнительных условий, например неотрицательности обеих частей.
Когда можно перемножать два неравенства почленно?
Почленное умножение сохраняет знак, если все сравниваемые числа положительны: a > b > 0 и c > d > 0 дают ac > bd. Без условия положительности результат может оказаться неверным.
Как понять, что преобразование неравенства сохраняет его решения?
Нужно проверить, что новое неравенство выполняется ровно для тех же значений, что и исходное. Если каждое решение первого является решением второго и наоборот, неравенства равносильны.
Общие свойства неравенств
