1.2. Общие свойства неравенств

Определения и обозначения

Числовое неравенство — это сравнение двух чисел с помощью знака <, >, ≤ или ≥. Запись a < b означает, что a меньше b, а a > b — что a больше b. Знаки ≤ и ≥ читают «меньше или равно» и «больше или равно»: они указывают, что первое число может быть меньше второго или совпадать с ним. Такие обозначения помогают коротко записывать сравнение и условия для чисел.

Строгое неравенство — неравенство со знаком < или >. Например, запись 4 < 7 верна, а 4 < 4 — нет: сравниваемые числа не могут быть равны. Строгость нужна, когда равенство не входит в условие или множество подходящих значений. Поэтому при чтении такой записи важно не включать границу.

Нестрогое неравенство использует знаки ≤ или ≥ и допускает равенство сравниваемых чисел. Например, 5 ≤ 5 — верное высказывание, как и 4 ≤ 5. Нестрогая запись подходит, когда граница тоже удовлетворяет условию. Различие между строгим и нестрогим знаками особенно важно при записи ответа.

Равносильные неравенства — это неравенства с одинаковым множеством решений. Если каждое число, подходящее для одной записи, подходит и для другой, их можно считать равносильными. Преобразованиями заменяют исходную запись более удобной, чтобы найти все решения и не потерять ни одного из них. Поэтому после каждого действия нужно следить, сохраняется ли множество решений.

Как это устроено

Прибавление одного и того же числа к обеим частям не меняет порядок. Если, например, к обоим числам прибавить 6, каждое сдвинется на числовой прямой на одинаковое расстояние вправо. Расстояние между ними останется прежним, поэтому меньшее число не станет большим. Так из a < b получается a + c < b + c при любом c.

Вычитание одного и того же числа тоже сохраняет знак. Это объясняется тем, что вычесть число — то же самое, что прибавить ему противоположное: a − c = a + (−c). Значит, к обеим частям применено действие, которое уже не меняет порядок. Например, из 10 > 6 следует 10 − 4 > 6 − 4, то есть 6 > 2.

Умножение или деление на положительное число сохраняет порядок, потому что положительный множитель не отражает числа относительно нуля и не переставляет их на прямой. Например, если 2 < 5, то после умножения обеих частей на 3 получаем 6 < 15. При делении на положительное число действует тот же принцип: обе части уменьшаются в одинаковое число раз, но порядок остаётся прежним. Делить можно только на число, не равное нулю.

С отрицательным множителем порядок становится обратным: отрицательное число меняет направление относительно нуля. Например, 2 < 5, но после умножения на −1 получаем −2 > −5, а не −2 < −5. На числовой прямой −2 расположено правее −5, хотя исходное 2 было левее 5. Поэтому при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак меняют на противоположный.

Транзитивность позволяет сравнить первое и третье числа, если известно их положение относительно второго. Если a < b и b < c, то a находится левее b, а b — левее c, поэтому a < c. Это помогает объединять несколько условий и не выполнять лишних вычислений. Аналогично работает цепочка нестрогих сравнений: из a ≤ b и b ≤ c следует a ≤ c.

Общие свойства числовых неравенств

В таблице приведены правила для знака <; для знаков >, ≤ и ≥ рассуждения аналогичны. Сначала выясни, какое действие выполняется и каков знак числа, на которое умножают или делят. Затем проверь, что преобразуются обе части и что делитель не равен нулю.

Разбор задач

Задача 1. Известно, что 3 < 8. Запишите неравенство, полученное прибавлением 5 к обеим частям. Нужно изменить обе части одинаково: тогда расстояние между числами и их порядок сохранятся. Получившиеся числа можно вычислить и проверить по исходному сравнению.

1. Прибавляем 5 к левой и правой частям: 3 + 5 < 8 + 5.
2. Вычисляем обе части: 8 < 13.
3. Проверяем: 8 действительно меньше 13, знак остался прежним.

Ответ: 8 < 13.

Задача 2. Решите неравенство 4x − 3 > 9. Цель — оставить x отдельно, поэтому сначала убираем −3, а затем избавляемся от множителя 4. На каждом шаге выполняем одно и то же действие с обеими частями.

1. Прибавляем 3: 4x − 3 + 3 > 9 + 3, откуда 4x > 12.
2. Делим обе части на 4. Число 4 положительное, поэтому знак сохраняется: x > 3.
3. Проверяем граничное значение: при x = 3 исходная левая часть равна 9, а требуется строго больше 9. Значит, граница не входит в ответ.

Ответ: x > 3.

Задача 3. Решите неравенство −2(3x − 1) ≤ 10 и запишите ответ. После раскрытия скобок появится отрицательный коэффициент при x. Когда будем делить на него, знак обязательно изменится; именно этот шаг требует особого внимания.

1. Раскрываем скобки: −6x + 2 ≤ 10.
2. Вычитаем 2 из обеих частей: −6x ≤ 8.
3. Делим обе части на −6. Делитель отрицательный, поэтому меняем ≤ на ≥: x ≥ −8/6, то есть x ≥ −4/3.
4. Проверяем граничное значение x = −4/3: оно обращает исходное неравенство в равенство, а знак ≤ равенство допускает.

Ответ: x ≥ −4/3.

Типичные ошибки

При делении или умножении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Это происходит потому, что привычное правило для положительных чисел переносят на любой множитель. Проверка на примере 2 < 5 и умножения на −1 сразу показывает ошибку: −2 > −5. При отрицательном множителе всегда меняй знак на противоположный.

Знак могут ошибочно менять при прибавлении или вычитании числа. Причина — правило о смене знака при отрицательном множителе вспоминают не к тому действию. Прибавление и вычитание сдвигают обе части одинаково, поэтому порядок не нарушается. Проверь преобразование подстановкой простых чисел: из 3 < 8 после вычитания 2 получается 1 < 6.

Нельзя без проверки делить обе части на выражение с неизвестным. Его знак может зависеть от значения переменной, а само выражение иногда обращается в ноль, и деление становится невозможным. Чтобы не потерять решения, сначала выясни, где выражение положительно, где отрицательно и где равно нулю. Только после этого выбирай действие и знак результата.

Из a < b не следует −a < −b: при умножении на −1 должно получиться −a > −b. Такую ошибку допускают, забывая, что числа меняются местами относительно нуля. Проверь результат на конкретном сравнении, например 1 < 4: верная запись после умножения на −1 — −1 > −4. Такая подстановка помогает заметить неверный знак до продолжения решения.

Связь с другими темами

Для работы со свойствами нужно уметь сравнивать числа на числовой прямой и выполнять действия с положительными и отрицательными числами. Эти правила становятся основой решения линейных неравенств и систем неравенств: с их помощью выражение упрощают, сохраняя множество решений. Те же преобразования помогают сравнивать выражения и исследовать промежутки, на которых выполняются заданные условия. Поэтому точность действий со знаком влияет на весь дальнейший ответ.

Что запомнить

• Прибавление и вычитание одного и того же числа сохраняют знак неравенства.
• Умножение и деление на положительное число сохраняют знак неравенства.
• Умножение и деление на отрицательное число меняют знак неравенства на противоположный.
• Преобразования нужно выполнять с обеими частями неравенства.
• Из a < b и b < c следует a < c.
• При делении на выражение с неизвестным сначала нужно определить его знак и исключить нулевые значения.