"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Линейное неравенство помогает найти все значения переменной, при которых верно заданное сравнение. Чтобы решить его, раскрывают скобки, собирают переменные в одной части, а числа — в другой, затем делят на коэффициент при переменной. Если делитель отрицательный, знак неравенства меняют на противоположный. Ответом служит не одно число, а множество решений, которое записывают неравенством или отмечают на числовой прямой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное неравенство с одной переменной — неравенство, которое после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых можно записать в виде ax + b > 0 или с другим знаком сравнения. Здесь x — переменная, а a и b — числа. Например, 3x − 5 > 7 после переноса слагаемых приводится к такому виду. Это определение помогает узнать, к каким неравенствам применяются общие правила решения.
Решение неравенства — значение переменной, при котором неравенство становится верным. Например, x = 5 подходит для 3x − 5 > 7, потому что после подстановки получается 10 > 7. Значение, которое превращает неравенство в неверное сравнение, решением не является. Проверка подстановкой помогает убедиться, что найденный ответ подходит.
Множество решений неравенства — все значения переменной, являющиеся его решениями; его можно записать неравенством или изобразить на числовой прямой. Например, запись x > 4 означает, что подходят все числа больше четырёх. Это не одно значение, а целый луч числовой прямой. Такое представление показывает ответ полностью.
Равносильные неравенства — неравенства с одним и тем же множеством решений. Например, 3x > 12 и x > 4 равносильны, потому что оба задают все числа больше четырёх. Равносильные преобразования позволяют менять вид неравенства, не меняя его ответ. На них и основан пошаговый способ решения.
Чтобы привести линейное неравенство к виду ax > d, слагаемые с переменной собирают в одной части, а числа — в другой. Для этого можно прибавлять или вычитать одинаковые выражения из обеих частей, затем раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Так у переменной остаётся один коэффициент, а в другой части — число, с которым её можно сравнить. Например, из 5 − 2x ≤ x + 11 после переноса переменных и чисел получается −3x ≤ 6.
При сложении или вычитании одного и того же числа из обеих частей знак неравенства сохраняется. Причина в том, что обе сравниваемые величины сдвигаются на одинаковую величину, поэтому их взаимный порядок не меняется. Например, из 4 < 7 следует 4 + 3 < 7 + 3, то есть 7 < 10. Это правило позволяет переносить слагаемые, фактически выполняя одинаковое действие с обеими частями.
При умножении или делении обеих частей на положительное число знак сохраняется, а на отрицательное — меняется на противоположный. Положительное число сохраняет порядок величин, а отрицательное переворачивает его: например, 2 < 5, но −2 > −5. Поэтому, чтобы после действия получить верное сравнение, при отрицательном множителе или делителе нужно перевернуть знак. Это изменение не произвольное, а следствие порядка чисел.
После приведения к виду ax > d знак коэффициента a определяет направление решения. Если a > 0, деление на a не меняет знак, и получается x > d/a; если a < 0, знак нужно перевернуть, и получается x < d/a. Например, −3x > 6 даёт x < −2. Знак коэффициента поэтому важно проверить до деления.
Если коэффициент при переменной равен нулю, переменная исчезает и остаётся числовое неравенство. Оно либо верно независимо от x, либо неверно при любом x, поэтому возможны все числа или отсутствие решений. Например, 0 > −2 верно всегда, а 0 > 3 неверно. В таком случае проверяют именно полученное сравнение, а не пытаются делить на ноль.
| Условие | Решение | Множество решений |
|---|---|---|
| a > 0 | x > d/a | (d/a; +∞) |
| a < 0 | x < d/a | (−∞; d/a) |
| a = 0 и 0 > d | Любое x | Все действительные числа |
| a = 0 и 0 ≤ d | Решений нет | ∅ |
Сначала определи знак коэффициента a, а затем выбери подходящую строку: при отрицательном коэффициенте направление знака меняется. Если a = 0, проверь, верно ли числовое неравенство 0 > d. Скобки в записи промежутка показывают, что граничное число не включено.
Решите неравенство 3x − 5 > 7. Переменная уже находится в одной части, поэтому достаточно перенести число −5 и разделить на коэффициент при x. Коэффициент положительный, значит, знак при делении сохранится. Полученное условие и будет множеством решений.
Ответ: x > 4. Число 4 не входит в решение, подходят все числа больше четырёх. На числовой прямой это луч вправо с пустой точкой в четвёрке.
Решите неравенство 5 − 2x ≤ x + 11. Переменная есть в обеих частях, поэтому соберём её слагаемые слева, а числа справа. После упрощения коэффициент при x окажется отрицательным. Именно на последнем шаге понадобится изменить знак неравенства.
Ответ: x ≥ −2. В множество решений входят −2 и все числа больше него. На числовой прямой граница отмечается закрашенной точкой.
Решите неравенство (x − 1)/3 − (2x + 1)/4 > 1/6. В выражениях есть знаменатели 3, 4 и 6, поэтому избавимся от них умножением на их общее кратное 12. Оно положительно, значит, знак неравенства пока сохранится. После раскрытия скобок останется линейное неравенство.
Ответ: x < −9/2. Деление на отрицательный коэффициент изменило направление знака, поэтому подходят значения меньше −9/2. Граничное число не включается, поскольку неравенство строгое.
Если разделить обе части на отрицательное число и оставить прежний знак, получится противоположное множество решений. Так происходит, когда правило вспоминают как обычное деление и не учитывают изменение порядка чисел. Чтобы проверить себя, можно подставить любое число из предполагаемого ответа в исходное неравенство. Например, при делении −3x ≤ 6 верно получить x ≥ −2.
При переносе слагаемого через знак неравенства его знак меняется, потому что фактически с обеих частей вычитают или к обеим прибавляют одно и то же выражение. Если просто переписать слагаемое с другой стороны без изменения знака, равносильность потеряется. Причина ошибки — воспринимать перенос как отдельное правило, а не как действие над обеими частями. Проверяй преобразование, выполняя это действие явно в каждой части.
Минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых внутри: например, −(2x + 1) = −2x − 1. Если изменить знак только у первого слагаемого, дальнейшие вычисления дадут неверный результат. Такая ошибка часто возникает при спешке и пропуске одного из слагаемых. Для самопроверки раскрой скобки по очереди и проверь каждый знак.
Граничное значение при строгом знаке не входит в ответ, а при ≤ или ≥ входит. Если перепутать это, ответ будет отличаться от исходного множества решений только на границе, но всё равно окажется неверным. Ошибка появляется, когда при записи ответа смотрят на направление знака, но забывают его вид. Подставь граничное число в исходное неравенство: при строгом сравнении получится равенство, которое не подходит.
Для решения линейных неравенств нужны навыки, которые уже встречались при работе с выражениями и уравнениями. Нужно уметь раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и выполнять действия с отрицательными числами. Решение линейного уравнения помогает понять, как собирать переменную в одной части, но в неравенствах дополнительно важно следить за направлением знака. Поэтому уверенное владение этими действиями снижает риск ошибок.
Линейные неравенства используют при решении систем неравенств и в задачах на допустимые значения величины. Система требует найти значения, которые удовлетворяют нескольким условиям одновременно. В практической задаче ответ может показывать, например, какие значения подходят для ограничения по времени, расстоянию или стоимости. Значит, умение решать отдельные неравенства помогает описывать сразу целый набор возможных вариантов.
Почему при делении на отрицательное число знак неравенства меняется?
Умножение или деление чисел на отрицательное меняет их порядок: например, из 2 < 5 получается −2 > −5. Поэтому при таком действии с обеими частями неравенства знак нужно перевернуть, иначе сравнение станет неверным.
Как понять, входит ли граничное значение в ответ?
При строгих знаках < и > граница не входит в множество решений. При нестрогих знаках ≤ и ≥ граничное значение входит, потому что равенство тоже допускается.
Что делать, если переменная есть в обеих частях неравенства?
Перенеси слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую, выполняя одинаковые действия с обеими частями. Затем приведи подобные слагаемые и раздели на коэффициент при переменной, не забыв изменить знак при делении на отрицательное число.
Как решить неравенство, если после упрощения переменная исчезла?
Проверь получившееся числовое неравенство. Если оно верно, подходят все значения переменной; если неверно — решений нет.
Как записать множество решений на числовой прямой?
Отметь граничное число и проведи луч в сторону подходящих значений. При строгом знаке границу показывают пустой точкой, а при ≤ или ≥ — закрашенной.
1.3. Решение линейных неравенств
