"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Система линейных неравенств задаёт несколько условий для одной переменной, и все они должны выполняться одновременно. Такие системы помогают находить значения, подходящие сразу под несколько ограничений. Решают каждое неравенство отдельно, записывают полученные множества чисел промежутками, а затем находят их пересечение — общую часть. При этом важно правильно учитывать границы: строгий знак исключает граничное число, а нестрогий включает его.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система линейных неравенств — это несколько неравенств с одной переменной, которые нужно удовлетворить одновременно. Например, условия x > 2 и x < 7 образуют систему. Она описывает ситуацию, когда одного выполненного условия недостаточно: должны подойти все. Поэтому систему решают не как два отдельных вопроса, а как совокупность ограничений.
Решение системы — значение переменной, при котором верны все неравенства системы. Так, число 4 удовлетворяет условиям x > 2 и x < 7, а число 8 — только первому. Это понятие помогает проверять отдельные значения: достаточно подставить их в каждое неравенство. Если хотя бы одно условие неверно, число не является решением системы.
Множество решений системы — все значения переменной, удовлетворяющие каждому неравенству; его находят как пересечение множеств решений отдельных неравенств. Пересечение — это общая часть множеств, то есть числа, которые входят в каждое из них. Такое описание нужно, когда решений много и перечислять числа по одному неудобно. Например, все числа между 2 и 7 можно записать одним промежутком.
Числовой промежуток — способ записать множество чисел, например интервал, отрезок или луч. Круглая скобка показывает, что граничное число не входит в промежуток, а квадратная — что входит. Например, (2; 7) не содержит ни 2, ни 7, а [2; 7] содержит оба числа. Обозначения помогают коротко записывать решение и видеть его границы.
Сначала каждое неравенство решают отдельно, потому что у каждого условия свои ограничения на переменную. Получившиеся множества показывают, какие значения подходят каждому условию по отдельности. Но решение системы должно подходить не одному условию, а всем сразу. Поэтому из найденных значений оставляют только те, которые встречаются в каждом множестве.
Решение отдельного линейного неравенства удобно представить на числовой прямой и записать промежутком. Если получается x > a, подходят числа правее a; точку a отмечают пустым кружком, поскольку строгий знак исключает её. При x ≥ a подходят также числа правее a, но сама граница включена: её отмечают закрашенной точкой. Для знаков < и ≤ луч направлен влево, а вид границы определяется тем же правилом.
Чтобы найти пересечение двух промежутков, сравнивают их границы и направление лучей. На числовой прямой мысленно накладывают изображения и отмечают только участок, принадлежащий обоим промежуткам. Например, если один луч начинается правее 2, а другой заканчивается левее 7, общей частью может стать промежуток между этими числами. Границы общей части проверяют отдельно: число на краю должно входить в оба исходных множества, чтобы войти в ответ.
Итог записывают одним промежутком, если общая часть непрерывна, или символом ∅, если общих чисел нет. После записи можно проверить граничные точки подстановкой в исходные неравенства: преобразования иногда затрудняют отслеживание открытой или закрытой границы. Подстановка показывает, выполняются ли все условия на самом деле. Внутренние точки промежутка обычно удовлетворяют обоим условиям по его построению.
Если промежутки не пересекаются, ни одно число не выполняет сразу все условия, поэтому решений нет. Если один промежуток полностью находится внутри другого, каждый его элемент уже подходит обоим условиям. Тогда пересечение совпадает с меньшим промежутком, и именно его записывают в ответ. Такое сравнение границ позволяет быстро определить результат, не перечисляя числа.
| Ситуация | Запись множества решений | Обозначение на числовой прямой |
|---|---|---|
| Строгое неравенство x > a или x < a | (a; +∞) или (−∞; a) | Пустая точка в a; луч направлен вправо или влево |
| Нестрогое неравенство x ≥ a или x ≤ a | [a; +∞) или (−∞; a] | Закрашенная точка в a; луч направлен вправо или влево |
| Пересечение двух промежутков с общей частью | Промежуток общей части с подходящими скобками на границах | Общий участок двух изображённых множеств |
| Промежутки не имеют общих точек | ∅ | Общего участка нет |
| Один промежуток содержится в другом | Меньший из двух промежутков | Изображение промежутка, целиком расположенного внутри другого |
Сначала определи направление луча по знаку неравенства, затем выбери открытое или закрытое обозначение границы. При пересечении оставляй лишь общий участок и проверяй, входят ли его края в оба множества. Таблица помогает не перепутать запись промежутка с его изображением.
Задача 1. Решите систему x > 2, x < 7.
Из первого неравенства получаем луч (2; +∞): подходят числа больше 2. Граница 2 не включается, так как знак строгий. Это первый набор допустимых значений.
Из второго неравенства получаем луч (−∞; 7). Подходят числа меньше 7, а число 7 исключено. Теперь нужно оставить числа, принадлежащие обоим лучам.
Общая часть лучей — числа строго между 2 и 7. Оба конца исключены исходными строгими знаками. Ответ: (2; 7).
Задача 2. Решите систему 3x − 6 ≥ 0, 2x + 4 < 12.
Из первого неравенства получаем 3x ≥ 6, значит, x ≥ 2. Делим на положительное число 3, поэтому знак не меняется; решение — [2; +∞).
Из второго получаем 2x < 8, значит, x < 4. Деление на положительное число 2 сохраняет знак, а строгая граница не входит; решение — (−∞; 4).
Пересекаем промежутки: подходят числа от 2 до 4. Число 2 входит из-за знака ≥, а 4 не входит из-за знака <. Ответ: [2; 4).
Задача 3. Решите систему 2(x − 1) ≤ 3x + 1, 5 − 2x < x + 8.
Раскроем скобки в первом неравенстве: 2x − 2 ≤ 3x + 1. После переноса получаем −3 ≤ x, то есть x ≥ −3. Его решение — [−3; +∞).
Во втором неравенстве переносим слагаемые: −3x < 3. Делим обе части на −3 и меняем знак на противоположный, получаем x > −1. Решение — (−1; +∞).
Второй луч целиком содержится в первом, поэтому пересечение равно (−1; +∞). Число −1 не включается из-за строгого знака во втором условии. Ответ: (−1; +∞).
Объединяют решения неравенств вместо пересечения: при объединении достаточно выполнить хотя бы одно условие, а в системе нужны все. Такую ошибку допускают, когда воспринимают условия как альтернативные варианты. Проверка простая: возьми число из предполагаемого ответа и подставь в каждое неравенство. Если хотя бы одно не выполняется, объединение выбрано неверно.
Включают граничную точку при строгом знаке или исключают её при нестрогом. Часто это происходит, когда при переходе к промежутку забывают исходный знак. Для > и < граница не входит, для ≥ и ≤ входит. Проверь обозначение скобки и подставь граничное число в исходное неравенство.
При делении обеих частей на отрицательное число иногда оставляют прежнее направление знака. Причина ошибки — привычка считать, что любое одинаковое действие сохраняет знак сравнения. При делении или умножении на отрицательное число числа меняют порядок на числовой прямой, поэтому знак нужно перевернуть. Для проверки реши полученное неравенство и подставь подходящее число в исходную запись.
Пустое пересечение иногда записывают как промежуток с перепутанными границами. Это может показаться способом обозначить «участок наоборот», но такого множества решений нет. Если на прямой не нашлось общей точки, ответ — ∅. Проверь, можно ли выбрать число, которое принадлежит всем промежуткам; если нельзя, решений действительно нет.
Для решения систем нужно уметь решать линейные неравенства и изображать их решения на числовой прямой. Запись промежутков помогает кратко задавать лучи, интервалы и отрезки, а понятие пересечения объясняет, какие значения подходят нескольким условиям сразу. Эти навыки используются при задачах с ограничениями на переменную: например, когда требуется найти значения, допустимые сразу по нескольким требованиям. Поэтому освоение систем объединяет работу с неравенствами, промежутками и множествами.
Почему для системы нужно искать пересечение, а не объединение решений?
В системе должны одновременно выполняться все неравенства. Поэтому подходят только числа, которые есть в каждом из множеств решений, то есть их общая часть — пересечение. При объединении достаточно было бы выполнить хотя бы одно условие.
Как понять, входит ли граничное число в ответ?
Посмотри на знак исходного неравенства: при > или < граница не входит, а при ≥ или ≤ входит. В записи промежутка это отражают круглой и квадратной скобками соответственно. Для системы граница должна удовлетворять всем неравенствам.
Что делать, если у неравенств разные направления?
Реши каждое неравенство независимо и запиши его решение промежутком. Затем найди общую часть полученных промежутков. Направления неравенств не нужно специально уравнивать.
Как записать ответ, если промежутки не пересекаются?
Если у промежутков нет общих чисел, система не имеет решений. Ответ записывают как ∅ — пустое множество. Не следует оформлять его как промежуток с неверно расположенными границами.
Нужно ли проверять граничные точки подстановкой?
Проверка помогает убедиться, что граница включена или исключена правильно. Подставь её в исходные неравенства, а не только в преобразованные записи. Если хотя бы одно условие не выполняется, точка не является решением системы.
1.4. Решение систем линейных неравенств
