1.5. Доказательство неравенств

Определения и обозначения

Доказательство неравенства — это обоснование того, что одно выражение не меньше или не больше другого при заданных условиях. Например, запись A ≥ B означает, что разность A − B неотрицательна. Доказательство нужно, чтобы подтвердить утверждение для всех допустимых значений переменных, а не только для нескольких примеров.

Равносильное преобразование неравенства — преобразование, которое сохраняет множество его решений. При сложении одного и того же числа знак не меняется, а при умножении или делении на отрицательное число его меняют на противоположный. Такие правила позволяют переходить к более удобной форме, не изменяя смысл условия.

Неотрицательное выражение — выражение, значение которого при рассматриваемых условиях не меньше нуля. Квадрат любого действительного числа, например (x − 3)², неотрицателен. Умение находить такие выражения помогает превращать задачу на сравнение в понятное утверждение о знаке.

Как это устроено

Чтобы доказать A ≥ B, рассматривают разность A − B. Если удаётся показать, что она неотрицательна, то A = B + (A − B), то есть левая часть получается из правой добавлением величины, не меньшей нуля. Поэтому исходное сравнение следует непосредственно из знака разности.

Особенно часто разность раскладывают в квадрат: (a − b)² = a² − 2ab + b². Так как квадрат не может быть отрицательным, имеем a² − 2ab + b² ≥ 0, откуда a² + b² ≥ 2ab. Равенство возможно только тогда, когда квадрат равен нулю, то есть при a = b.

Условия на переменные определяют, какие действия разрешены. Если a и b положительны, их произведение положительно, а деление на них допустимо; кроме того, можно применять неравенства, сформулированные только для положительных чисел. Без этого условия выражения вроде a / b могут быть не определены или известное правило может оказаться неверным.

В доказательстве можно использовать уже известное неравенство, но сначала нужно проверить все его условия. Например, для положительных u и v верно (u + v) / 2 ≥ √(uv); это сравнение среднего арифметического и среднего геометрического. Преобразования до и после применения правила должны сохранять исходное условие, а при умножении или делении на отрицательное выражение знак необходимо изменить.

Завершая доказательство, называют конкретную неотрицательную величину и явно связывают её с исходной записью. Фраза «(a − b)² ≥ 0, значит a² + b² − 2ab ≥ 0, поэтому a² + b² ≥ 2ab» показывает всю логическую цепочку. Если требуется найти случай равенства, отдельно приравнивают использованную неотрицательную величину к нулю.

Приёмы доказательства неравенств

Выбирайте приём по виду выражения: сначала ищите разность и знакомые формулы, затем решайте, нужен ли квадрат или известное неравенство. Последний столбец помогает не потерять ограничения, из-за которых рассуждение может стать неверным.

Разбор задач

Задача 1

Условие: докажите, что при любых действительных a и b выполняется a² + b² ≥ 2ab.

1. Перенесём правую часть влево: a² + b² − 2ab ≥ 0.
2. Узнаём формулу квадрата разности: a² − 2ab + b² = (a − b)².
3. Получаем (a − b)² ≥ 0, что верно для любых действительных a и b. Значит, исходное неравенство доказано.

Ответ: неравенство верно; равенство достигается при a = b.

Задача 2

Условие: докажите, что при положительных x и y выполняется x / y + y / x ≥ 2.

1. Положительность x и y позволяет умножить обе части на xy без изменения знака: x² + y² ≥ 2xy.
2. По задаче 1 левая часть минус правая равна (x − y)² и неотрицательна.
3. Следовательно, после деления на положительное xy получаем x / y + y / x ≥ 2.

Ответ: неравенство доказано; равенство возможно при x = y.

Задача 3

Условие: докажите, что при положительных a, b и c выполняется a / b + b / c + c / a ≥ 3.

1. Обозначим положительные слагаемые через u = a / b, v = b / c, w = c / a. Их произведение равно uvw = 1.
2. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим (u + v + w) / 3 ≥ ∛(uvw).
3. Подставляем uvw = 1: (u + v + w) / 3 ≥ 1, значит u + v + w ≥ 3. Возвращая обозначения, получаем требуемое неравенство.

Ответ: неравенство доказано; равенство достигается при u = v = w = 1, то есть при a = b = c.

Типичные ошибки

Умножение или деление без проверки знака. Переменное выражение может быть положительным, отрицательным или нулевым, поэтому действие иногда меняет знак или становится недопустимым. Проверьте знак множителя на всей рассматриваемой области.

Применение правила без положительности переменных. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим требует неотрицательных или положительных величин в зависимости от формулировки. Перед использованием выпишите, почему все нужные числа имеют допустимый знак.

Проверка несколькими примерами. Подстановка отдельных чисел показывает лишь, что утверждение работает в этих случаях, но не доказывает его для всех значений. Ищите общее преобразование, например представление разности квадратом.

Разрыв связи с исходным неравенством. Иногда получают выражение вроде (a − b)² ≥ 0 и на этом останавливаются. Нужно показать, что это выражение равно разности исходных частей, а затем сделать вывод о требуемом сравнении.

Связь с другими темами

Для доказательства нужны свойства числовых неравенств: правила сложения, умножения и деления, а также формулы сокращённого умножения. Именно они позволяют переносить слагаемые, учитывать знак множителя и выделять квадрат разности.

Эти приёмы встречаются при решении неравенств и оценке выражений. Они также помогают доказывать свойства функций, например ограниченность значения или достижение наибольшего и наименьшего значения.

Что запомнить

• Чтобы доказать A ≥ B, можно показать, что A − B ≥ 0.
• Квадрат любого действительного числа неотрицателен.
• При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняют.
• Условия задачи нужно проверять перед применением известного неравенства.
• Равенство в доказанном неравенстве достигается при определённых значениях переменных; их следует проверить.