§ 31. Доказательство неравенств

Определения и обозначения

Доказательство неравенства — обоснование того, что заданное соотношение верно для всех значений переменных из указанной области. Это не просто проверка нескольких чисел, а цепочка рассуждений, которая охватывает каждый допустимый случай. Такое доказательство нужно, чтобы быть уверенным в общем утверждении, например при решении задачи или исследовании функции.

Равносильные неравенства — неравенства с одинаковыми множествами решений. Если мы преобразуем неравенство, важно убедиться, что исходное и полученное утверждения действительно равносильны на рассматриваемой области. Иначе можно потерять решения или добавить значения, которые не подходят.

Оценка выражения — установление нижней или верхней границы выражения, позволяющей сравнить его с другим выражением. Например, если удалось показать, что выражение не меньше нуля, это может сразу обосновать нужное сравнение. Оценки полезны, когда точное значение выражения находить не требуется.

Метод от противного — способ доказательства, при котором предполагают, что требуемое неравенство неверно, и приходят к противоречию. Противоречие показывает, что исходное предположение невозможно, значит, утверждение верно. Этот приём выручает, когда прямое преобразование не подсказывает очевидного пути.

Как это устроено

Сначала определяют область допустимых значений — все значения переменных, при которых исходные выражения имеют смысл. Это необходимо потому, что преобразования могут быть разрешены не всегда: знаменатель не должен обращаться в ноль, подкоренное выражение при чётном корне должно быть неотрицательным. При возведении в квадрат или делении на переменное выражение также могут понадобиться дополнительные условия. Если их не учесть, рассуждение может оказаться верным лишь для части нужных значений или привести к неверному выводу.

Если требуется доказать A ≥ B, сравнение можно свести к знаку разности: A − B ≥ 0. Это удобно, потому что одна разность часто упрощается после раскрытия скобок или разложения на множители. Когда она представлена суммой неотрицательных выражений, её знак становится понятен без отдельного сравнения сложных частей. Например, x² + 1 ≥ 2x сводится к (x − 1)² ≥ 0.

Основой многих доказательств служит очевидный факт: квадрат любого действительного числа неотрицателен. Из него получают нужные сравнения, раскрывая скобки или преобразуя выражение к виду квадрата. Например, (a − b)² ≥ 0 после раскрытия скобок даёт a² + b² ≥ 2ab. Такой переход особенно надёжен, если равенство и его условия тоже понятны: здесь квадрат равен нулю при a = b.

Можно использовать известные неравенства и оценки, если выражения подходят под их условия. Сначала выясняют, требуется ли, например, положительность чисел, затем подставляют подходящие величины и сравнивают полученную границу с целью. Нельзя выбирать неравенство только по внешнему сходству формул: знак может оказаться направлен не туда или условия могут не выполняться. Поэтому после применения нужно объяснить, как оценка приводит именно к доказываемому утверждению.

При доказательстве от противного сначала формулируют отрицание требуемого утверждения. Если нужно доказать A ≥ B, его отрицание — A < B; для утверждения A > B отрицанием будет A ≤ B. Затем из предположения и условий задачи выводят невозможный результат, например одновременно положительное и неположительное значение одного выражения. Противоречие опровергает предположение, поэтому исходное утверждение должно быть верным.

Основные приёмы доказательства неравенств

Сначала выберите приём, который превращает исходное сравнение в проверяемое утверждение о знаке, а затем проверьте условия его применения. Таблица подсказывает не только ход рассуждения, но и места, где чаще всего возникают ошибки. Если после преобразования знак выражения всё ещё неясен, стоит попробовать другой приём.

Разбор задач

Задача 1

Докажите, что при любом действительном x выполняется x² + 1 ≥ 2x. Переменная может принимать любые действительные значения, поэтому дополнительных ограничений на неё нет. Чтобы сравнить части, перенесём правую часть влево и исследуем полученную разность.

1. Рассмотрим разность левой и правой частей: x² + 1 − 2x.
2. Сгруппируем слагаемые и представим выражение как полный квадрат: x² − 2x + 1 = (x − 1)².
3. Квадрат действительного числа неотрицателен, значит, x² + 1 − 2x ≥ 0 при любом x.

Следовательно, исходное сравнение верно для всех действительных x. Равенство достигается при x = 1, потому что тогда квадрат обращается в ноль. Ответ: неравенство доказано, равенство возможно при x = 1.

Задача 2

Докажите, что для любых действительных a и b выполняется a² + b² ≥ 2ab. Здесь удобно сопоставить левую часть с правой через разность: если она неотрицательна, требуемое сравнение будет верным. Выражения похожи на раскрытый квадрат разности, поэтому попробуем восстановить этот квадрат.

1. Вычтем правую часть из левой: a² + b² − 2ab.
2. По формуле квадрата разности получаем a² + b² − 2ab = (a − b)².
3. Поскольку квадрат неотрицателен, (a − b)² ≥ 0 для любых действительных a и b.

Значит, a² + b² ≥ 2ab при всех действительных a и b. Равенство достигается, когда a − b = 0, то есть при a = b. Ответ: неравенство доказано; равенство возможно при a = b.

Задача 3

Докажите, что для любых действительных x, y и z выполняется x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx. В разности левой и правой частей три квадрата и три попарных произведения, поэтому полезно соединить их в квадраты разностей. Для этого используем квадраты пар x − y, y − z и z − x.

1. Рассмотрим разность x² + y² + z² − xy − yz − zx.
2. Раскроем скобки в сумме квадратов: (x − y)² + (y − z)² + (z − x)² = 2x² + 2y² + 2z² − 2xy − 2yz − 2zx.
3. Следовательно, исходная разность равна ½((x − y)² + (y − z)² + (z − x)²). Каждый квадрат неотрицателен, значит, вся сумма неотрицательна.

Разность левой и правой частей неотрицательна, поэтому требуемое сравнение верно при любых действительных x, y и z. Равенство возможно, когда все три квадрата равны нулю, то есть x = y = z. Ответ: неравенство доказано, равенство достигается при x = y = z.

Типичные ошибки

Преобразование обеих частей без проверки равносильности может изменить множество решений. Так происходит, например, если возвести обе части в квадрат, не установив их знаки, или разделить на выражение, которое может быть нулём. Ошибку допускают, потому что некоторые действия кажутся очевидно обратимыми. Проверяйте условия каждого шага и по возможности доказывайте утверждение через знак разности.

Умножение или деление на выражение с неизвестным знаком опасно: при отрицательном множителе знак неравенства меняется. Часто его знак не проверяют, предполагая, что переменное выражение положительно во всех случаях. Перед таким действием установите знак на всей области или разделите рассуждение на случаи. Если знак может быть нулевым, отдельно учтите и эту возможность.

Известное неравенство иногда применяют, не проверив его условия: например, ограничение на положительность чисел или область определения выражений. Это случается, когда формулы выглядят похоже, а условия забываются. До подстановки запишите, какие величины должны быть положительными или допустимыми. После применения проверьте также направление знака и связь оценки с целью доказательства.

Проверка нескольких значений не доказывает утверждение для всех допустимых переменных. Удачные примеры могут создать впечатление, что неравенство всегда верно, хотя при другом значении оно способно нарушиться. Примеры полезны для проверки догадки или поиска контрпримера, но не заменяют общего рассуждения. Убедитесь, что ваш вывод опирается на правило, верное на всей области.

Связь с другими темами

Для доказательства неравенств нужны преобразования выражений, разложение многочленов на множители и умение находить область допустимых значений. Без этих навыков трудно увидеть квадрат разности или проверить, имеет ли смысл исходная запись. Также пригодятся свойства числовых неравенств и правила изменения знака при умножении и делении. Среди стандартных инструментов полезно неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим — его можно применять только при выполнении условий.

Умение доказывать неравенства помогает решать сами неравенства и обосновывать оценки выражений. Те же приёмы используют при исследовании функций, например чтобы установить границы значений или доказать, что функция не превосходит заданную величину. Привычка проверять условия и каждый переход делает решения надёжными. Поэтому доказательство связывает вычислительные навыки с логическим обоснованием результата.

Что запомнить

• Перед доказательством укажи область допустимых значений.
• Чтобы доказать A ≥ B, можно показать, что A − B ≥ 0.
• Квадрат любого действительного выражения неотрицателен.
• При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется.
• Известное неравенство применяют только при выполнении его условий.
• Проверка отдельных примеров не заменяет общего доказательства.