§ 31. Доказательство неравенств

Определения и обозначения

Доказательство неравенства — обоснование того, что одно выражение не меньше или не больше другого при заданных условиях. Например, запись A ≥ B означает, что разность A − B неотрицательна. Такое обоснование нужно, чтобы вывод опирался не на проверку нескольких чисел, а на рассуждение для всех допустимых значений.

Равносильные преобразования неравенства — преобразования, сохраняющие множество значений переменных, при которых неравенство верно. К ним относятся перенос слагаемых из одной части в другую и прибавление одного и того же выражения. Они нужны, чтобы заменить исходное неравенство более удобным, но равным ему по смыслу.

Оценка выражения — установление его границы сверху или снизу. Например, утверждение x² ≥ 0 даёт нижнюю оценку для квадрата. Оценки позволяют доказать неравенство, даже если разность его частей трудно разложить.

Неотрицательное выражение — выражение, значение которого при допустимых переменных не меньше нуля. Таковы квадрат любого действительного числа и сумма неотрицательных слагаемых. Если разность левой и правой частей имеет такой вид, исходное неравенство доказано.

Как это устроено

Неравенство A ≥ B удобно заменить условием A − B ≥ 0, потому что знак разности сразу показывает, какая часть больше. После переноса слагаемых можно применить формулы сокращённого умножения и получить квадрат или сумму квадратов. Такой вид надёжен: квадрат не бывает отрицательным при любых действительных значениях. Поэтому достаточно объяснить знак каждого слагаемого и вернуть вывод к исходной записи.

Квадраты появляются в доказательствах не случайно. Для любого действительного t выполняется t² ≥ 0, а равенство возможно только при t = 0. Если выражение представлено как (a − b)² или как сумма нескольких квадратов, его знак известен заранее. Это помогает одновременно доказать неравенство и установить, когда достигается равенство.

Равносильные преобразования сохраняют множество решений, но знак некоторых действий зависит от условий. При умножении или делении на положительное число направление неравенства остаётся прежним, а на отрицательное — меняется. Если множитель может быть и положительным, и отрицательным, сначала выясняют его знак или разбирают отдельные случаи. Делить также можно только на выражение, не равное нулю.

Способ выбирают по виду задачи. Если разность быстро раскладывается, применяют преобразование разности; если видна известная граница, используют оценку. При наличии знаменателя иногда удобно умножить на заведомо положительное выражение, а при невозможности получить удобную форму — предположить противоположное и прийти к противоречию. Перед началом проверяют допустимые значения, а в конце отдельно находят случай равенства.

Основные приёмы доказательства неравенств

Сначала сравните вид выражения с первым столбцом и выберите наиболее короткий путь. Затем проверьте условие применения приёма: знак множителя, допустимые значения или условия оценки. Последняя проверка должна связывать полученный результат именно с исходным неравенством.

Разбор задач

1. Докажите, что a² + b² ≥ 2ab для любых действительных a и b.

Нужно сравнить две части без ограничений на знаки a и b. Перенесём правую часть влево и воспользуемся формулой квадрата разности. Получившийся квадрат неотрицателен при любых действительных значениях.

1. Рассмотрим разность частей: a² + b² − 2ab.
2. По формуле сокращённого умножения получаем a² − 2ab + b² = (a − b)².
3. Так как (a − b)² ≥ 0, то a² + b² − 2ab ≥ 0, а значит, a² + b² ≥ 2ab.

Ответ: неравенство доказано; равенство выполняется при a = b.

2. Докажите, что x + 1/x ≥ 2 при x > 0.

В выражении есть дробь, поэтому условие x > 0 особенно важно. Умножение на x не меняет направление неравенства, потому что множитель положителен. После этого достаточно применить неотрицательность квадрата x − 1.

1. Умножим обе части на x > 0: x² + 1 ≥ 2x.
2. Перенесём всё влево: x² − 2x + 1 ≥ 0.
3. Получаем (x − 1)² ≥ 0, что верно для любого действительного x.

Ответ: при x > 0 неравенство доказано; равенство достигается при x = 1.

3. Докажите, что a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca.

Здесь разность содержит три переменные, поэтому удобно сгруппировать её через квадраты попарных разностей. Каждый квадрат неотрицателен, а сумма таких квадратов тоже неотрицательна. После преобразования нужно не забыть разделить равенство на ноль.

1. Рассмотрим разность: a² + b² + c² − ab − bc − ca.
2. Умножим её на 2 и сгруппируем: 2(a² + b² + c² − ab − bc − ca) = (a − b)² + (b − c)² + (c − a)².
3. Правая часть неотрицательна, значит исходная разность также неотрицательна, и исходное неравенство верно.

Ответ: равенство возможно, когда a = b = c.

Типичные ошибки

Умножение или деление на выражение неизвестного знака. Если знак множителя не установлен, направление неравенства может измениться. Такую ошибку допускают, автоматически повторяя правило для положительного числа. Проверьте знак выражения до действия или разделите рассуждение на случаи.

Утверждение, что квадрат всегда положителен. Квадрат может быть равен нулю, например 0² = 0. Из-за неточной формулировки ошибочно исключают случай равенства. Пишите «квадрат неотрицателен» и отдельно решайте, когда он равен нулю.

Преобразование только одной части неравенства. Замена выражения лишь слева или лишь справа может нарушить исходное утверждение. Причина ошибки — смешение равносильного преобразования с произвольным упрощением. Выполняйте действие над обеими частями или преобразуйте их через разность.

Игнорирование условий и недопустимых значений. Например, нельзя делить на переменную, не проверив, что она не равна нулю. Условие задачи также может определять знак множителя. Перед каждым спорным шагом сверяйтесь с ОДЗ и исходными ограничениями.

Связь с другими темами

До доказательства неравенств нужны свойства числовых неравенств, преобразование выражений, формулы сокращённого умножения и свойство квадрата действительного числа. Эти знания объясняют, почему можно переносить слагаемые и использовать квадраты.

Тема пригодится при доказательстве тождеств и неравенств с параметрами, решении задач на оценки и исследовании областей значений выражений. Умение находить границы помогает понять, какие значения выражение может принимать.

Связь с квадратными неравенствами и разложением многочленов подсказывает, как преобразовать разность частей. Если выражение содержит квадратный трёхчлен, его часто удаётся представить через квадрат двучлена или произведение множителей.

Что запомнить

• Чтобы доказать A ≥ B, достаточно доказать, что A − B ≥ 0.
• Квадрат любого действительного выражения неотрицателен.
• Сумма неотрицательных выражений неотрицательна.
• При умножении или делении на отрицательное выражение знак неравенства меняется.
• Область допустимых значений нужно учитывать на каждом шаге доказательства.
• Случай равенства следует находить отдельно.
• Доказательство должно завершаться выводом именно исходного неравенства.