"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Приближённые вычисления используют, когда точное значение неизвестно, трудно записывается или неудобно для действий. Главное — отличать точное значение от приближённого, правильно записывать знак ≈ и оценивать погрешность результата. Абсолютная погрешность показывает величину отклонения, относительная помогает сравнивать точность для чисел разного размера, а округление позволяет быстро получать удобные записи с контролируемой ошибкой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Приближённое значение числа — число, близкое к точному и используемое вместо него. Если точное значение обозначено x, а приближённое — a, пишут x ≈ a. Знак ≈ означает близость, а не полное равенство.
Абсолютная погрешность приближения — модуль разности точного и приближённого значений: |x − a|. Модуль показывает расстояние между числами и убирает возможный знак минус. Поэтому абсолютная погрешность характеризует величину отклонения в тех же единицах, что и сами числа.
Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения: |x − a| / |x|, где x ≠ 0. Она показывает, насколько велика ошибка по сравнению с самим числом. Для удобства относительную погрешность часто выражают в процентах.
Округление числа — замена исходного числа ближайшим числом с заданным количеством цифр или разрядов. Сохраняемой называют последнюю цифру, которую оставляют в записи. Решение о её изменении принимают по первой цифре, которую отбрасывают.
Приближённые значения появляются при измерениях, потому что прибор имеет ограниченную точность, а также при работе с иррациональными или очень длинными десятичными дробями. Иногда точное число известно, но его неудобно использовать в устных или практических вычислениях. Поэтому результат заменяют близким и обязательно отделяют приближение знаком ≈, чтобы не принять его за точное равенство.
Абсолютную погрешность находят как расстояние между точным и приближённым значениями. Расстояние не зависит от того, какое число записали первым, поэтому используется модуль: |x − a| = |a − x|. Благодаря этому результат не бывает отрицательным, а единицы измерения сохраняются, например метры, секунды или килограммы.
Абсолютная погрешность сама по себе не всегда позволяет сравнить качество двух приближений. Ошибка 1 см почти незаметна при измерении длины 100 м, но очень велика для отрезка длиной 2 см. Относительная погрешность учитывает размер числа, поэтому показывает точность более справедливо.
При округлении сначала выбирают разряд, до которого должна сохраняться запись. Затем смотрят на первую отбрасываемую цифру: она непосредственно определяет, изменится ли последняя сохранённая цифра. Если эта цифра меньше 5, сохраняемую цифру оставляют, а если равна 5 или больше, увеличивают на единицу.
Округление заранее ограничивает возможную ошибку результата. При округлении до единиц число заменяют ближайшим целым, поэтому отклонение не превышает ½ единицы, то есть 0,5. При округлении до десятых предельная погрешность равна половине десятой, то есть 0,05; для сотых она составляет 0,005.
| Понятие или действие | Как определить или выполнить | Что показывает результат |
|---|---|---|
| Приближённое значение | Заменить точное значение близким и записать знак ≈ | Какое число используют вместо точного |
| Абсолютная погрешность | Вычислить |x − a| | Величину отклонения в исходных единицах |
| Относительная погрешность | Разделить абсолютную погрешность на |x| и при необходимости умножить на 100% | Долю ошибки относительно размера числа |
| Округление до заданного разряда | Оставить цифру нужного разряда и проверить первую отбрасываемую цифру | Удобную запись числа с заданной точностью |
| Предельная погрешность при округлении | Взять половину единицы выбранного разряда | Максимально возможное отклонение после округления |
Сначала определите, какое понятие требуется применить: заменить число, найти ошибку или округлить запись. В задачах на погрешность точно различайте точное значение x и приближённое значение a. Для оценки качества приближений разных по размеру чисел используйте относительную, а не только абсолютную погрешность.
Точное значение равно 12,46, а вместо него используют 12,5. Требуется найти абсолютную погрешность.
Ответ: абсолютная погрешность равна 0,04.
Длина отрезка равна 4,8 м с абсолютной погрешностью не более 0,1 м. Нужно оценить относительную погрешность в процентах.
Ответ: относительная погрешность составляет примерно 2,1%.
Округлим число 0,007846 до трёх значащих цифр и определим границы, в которых могло находиться исходное число.
Ответ: 0,00785; возможный интервал исходного числа — от 0,007845 включительно до 0,007855 не включая правую границу.
Иногда после округления пишут знак = вместо ≈. Так делают, потому что округлённое число выглядит как обычный результат вычисления, но оно обычно отличается от исходного. Проверьте, не были ли отброшены цифры: если да, используйте знак ≈.
Некоторые записывают абсолютную погрешность со знаком минус или вычитают числа без модуля. Ошибка возникает из-за смешения направления отклонения и его величины. Проверьте результат по определению: абсолютная погрешность равна модулю и не может быть отрицательной.
Нельзя сравнивать точность приближений только по абсолютным погрешностям, если числа имеют разный масштаб. Одинаковая ошибка для большого и маленького числа означает разную долю отклонения. Для такого сравнения вычислите относительные погрешности и сопоставьте их.
При округлении ошибочно смотрят на сохраняемую цифру, а не на первую отбрасываемую. Именно следующая цифра решает, нужно ли увеличивать последнюю оставленную цифру. После округления отдельно найдите эту цифру и проверьте правило «меньше 5 — не менять, 5 или больше — увеличить».
Для приближённых вычислений нужны навыки действий с десятичными дробями, сравнения чисел и нахождения модуля разности. Без них трудно правильно вычислить абсолютную и относительную погрешности. Полезно также уверенно определять разряды цифр.
Приближённые значения постоянно встречаются при измерениях и работе с калькулятором. В физике и геометрии результат часто зависит от точности длины, времени, массы или угла. Погрешность помогает понять, насколько можно доверять полученному числу.
Эта тема подготавливает к вычислениям с приближёнными данными и записи результатов измерений. Позже потребуется учитывать погрешности не только отдельных чисел, но и действий над ними. Поэтому умение округлять и оценивать точность служит основой для дальнейших практических задач.
Чем приближённое значение отличается от точного?
Точное значение полностью совпадает с рассматриваемым числом или величиной, а приближённое лишь близко к нему и заменяет его в вычислениях. Поэтому вместо знака = часто используют знак ≈.
Почему абсолютную погрешность берут по модулю?
Разность точного и приближённого значений может быть положительной или отрицательной в зависимости от порядка вычитания. Модуль оставляет только величину отклонения, поэтому абсолютная погрешность не бывает отрицательной.
Зачем нужна относительная погрешность, если уже известна абсолютная?
Одинаковая абсолютная погрешность может быть несущественной для большого числа и значительной для маленького. Относительная погрешность сравнивает ошибку с размером самого числа.
Как понять, до какого разряда округлять число?
Нужно определить, какая цифра должна остаться последней: например, единицы, десятые или тысячные. Все цифры правее неё рассматривают как отбрасываемые.
Как определить возможную погрешность после округления?
При округлении до выбранного разряда максимальная погрешность не превышает половины единицы этого разряда. Например, при округлении до десятых она не больше 0,05.
§ 32. Приближённые вычисления
