§ 33. Стандартный вид положительного числа

Определения и обозначения

Стандартный вид положительного числа — запись a·10ⁿ, где 1 ≤ a < 10, а n — целое число. Например, 62000 = 6,2·10⁴. Такая форма позволяет компактно записывать числа с большим количеством нулей.

Коэффициент стандартного вида — число a, стоящее перед степенью десяти. Он должен быть не меньше 1 и меньше 10, поэтому коэффициентом могут быть 1,7 или 9,99, но не 0,7 и не 12. По коэффициенту видна первая значащая цифра числа.

Порядок числа — целое число n, являющееся показателем степени десяти. Он показывает, во сколько раз меняется число по сравнению с коэффициентом. Знак и величина порядка помогают понять размер числа.

Положительное число — число, большее нуля. В этой теме нуль и отрицательные числа не рассматриваются, потому что стандартную запись строят для положительных значений.

Как это устроено

Чтобы получить коэффициент от 1 до 10, запятую ставят сразу после первой значащей цифры. Если исходное число больше или равно 10, первая значащая цифра находится левее запятой, поэтому запятую переносят влево. После переноса перед запятой остаётся одна ненулевая цифра, а коэффициент попадает в нужный промежуток.

Каждый перенос запятой на одну позицию соответствует умножению или делению на 10. При переносе влево число без степени уменьшается, поэтому это уменьшение компенсируют умножением на 10ⁿ с положительным n. При переносе вправо число в записи увеличивается, и компенсация выполняется отрицательной степенью десяти.

Например, в числе 45000 запятую мысленно ставят после последнего нуля: 45000, а затем переносят влево четыре раза и получают 4,5. Поэтому 45000 = 4,5·10⁴. В числе 0,0062 запятую переносят вправо три раза, значит, 0,0062 = 6,2·10⁻³.

Единственность записи следует из условия 1 ≤ a < 10. Первая значащая цифра однозначно определяет положение запятой, а число переходов от исходной записи к коэффициенту однозначно определяет n. Если коэффициент уже приведён к нужному промежутку, изменить его и порядок, не изменив число, можно только вернувшись к той же записи.

Знак порядка показывает общий размер числа. Положительный порядок обычно означает число, большее 10, а отрицательный — число между 0 и 1; чем больше модуль отрицательного порядка, тем число меньше. Порядок 0 означает, что число уже находится от 1 до 10.

Правила записи положительного числа в стандартном виде

Сначала определите, где должна стоять запятая, чтобы коэффициент оказался от 1 до 10. Затем посчитайте переносы и выберите знак порядка по направлению движения запятой.

После записи проверьте две вещи: коэффициент должен удовлетворять условию 1 ≤ a < 10, а порядок — быть целым числом. Быстрая обратная проверка состоит в восстановлении обычной десятичной записи.

Разбор задач

Задача 1. Представить в стандартном виде числа 56 000 и 0,00073

Нужно в каждом числе найти первую значащую цифру, поставить после неё запятую и по направлению переноса определить порядок.

1. В числе 56000 переносим запятую влево четыре позиции: 56000 → 5,6. Запятая двигалась влево, поэтому порядок положительный: 56 000 = 5,6·10⁴.
2. В числе 0,00073 переносим запятую вправо четыре позиции: 0,00073 → 7,3. Перенос вправо даёт отрицательный порядок, поэтому 0,00073 = 7,3·10⁻⁴.
3. Проверяем коэффициенты: 5,6 и 7,3 находятся между 1 и 10, значит, обе записи стандартные.

Ответ: 56 000 = 5,6·10⁴; 0,00073 = 7,3·10⁻⁴.

Задача 2. Записать в обычном виде числа 3,08·10⁻⁵ и 7,4·10³

Здесь выполняем обратное действие: знак степени подсказывает направление переноса, а её показатель — количество позиций.

1. В записи 3,08·10⁻⁵ степень отрицательная, поэтому переносим запятую влево на пять позиций. Получаем 0,0000308.
2. В записи 7,4·10³ степень положительная, поэтому переносим запятую вправо на три позиции: 7,4 → 7400.
3. Проверяем количество нулей: при отрицательной степени число стало меньше 1, а при положительной — больше исходного коэффициента.

Ответ: 3,08·10⁻⁵ = 0,0000308; 7,4·10³ = 7400.

Задача 3. Сравнить числа и выполнить умножение

Сравним 6,2·10⁷ и 5,9·10⁸, затем вычислим (3·10⁶)·(2·10⁻⁴). В первой части достаточно сравнить порядки, а во второй — отдельно перемножить коэффициенты и степени десяти.

1. Порядки равны 7 и 8. Число с порядком 8 больше, поэтому 6,2·10⁷ < 5,9·10⁸.
2. Перемножаем коэффициенты: 3·2 = 6. Для степеней используем правило 10⁶·10⁻⁴ = 10².
3. Получаем (3·10⁶)·(2·10⁻⁴) = 6·10². Коэффициент 6 уже удовлетворяет условию стандартного вида.

Ответ: 6,2·10⁷ < 5,9·10⁸; (3·10⁶)·(2·10⁻⁴) = 6·10².

Типичные ошибки

Коэффициент меньше 1 или не меньше 10. Так происходит, если запятую переносят не до первой значащей цифры или останавливаются слишком рано. Проверьте результат условием 1 ≤ a < 10.

Неверный знак порядка. Часто запоминают только число переносов и забывают их направление. Если запятая двигалась влево, знак плюс, если вправо — знак минус.

Ошибка на единицу в порядке. При подсчёте считают сами цифры, а нужно считать промежутки, на которые переместилась запятая. Полезно отмечать каждое движение запятой стрелкой.

Неверное направление при обратном переходе. Отрицательная степень требует переноса запятой влево, а положительная — вправо. После переноса оцените результат: при отрицательной степени число должно уменьшиться, при положительной — увеличиться.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны знания о десятичной записи, разрядах, переносе запятой и свойствах степеней с основанием 10. Дальше стандартный вид помогает сравнивать и вычислять очень большие и очень малые числа. В физике и естественных науках так записывают размеры, массы, расстояния и результаты измерений.

Что запомнить

• Стандартный вид положительного числа: a·10ⁿ.
• Коэффициент стандартного вида удовлетворяет условию 1 ≤ a < 10.
• Порядок n — целое число.
• При переносе запятой влево порядок положительный.
• При переносе запятой вправо порядок отрицательный.
• Запись числа от 1 до 10 имеет порядок 0.
• Стандартный вид позволяет компактно записывать очень большие и очень малые числа.