"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Многочлен от одной переменной — это сумма степеней одной переменной с числовыми коэффициентами, например 3x³ − 2x + 5. Для него определяют стандартный вид, коэффициенты, степень, старший коэффициент и свободный член. Эти понятия помогают сравнивать многочлены, складывать, вычитать и умножать их, а позднее — раскладывать на множители и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен от одной переменной — выражение вида anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0, где ai — числа, а показатели степеней — целые неотрицательные числа. Это означает, что переменная может стоять только в целой степени 0, 1, 2 и так далее. Такая запись показывает состав многочлена и позволяет выполнять с ним действия по понятным правилам.
Коэффициенты многочлена — числа, стоящие при соответствующих степенях переменной. Например, в 5x3 − 2x + 7 коэффициенты при x3, x и x0 равны 5, −2 и 7, а коэффициент при x2 равен 0. Свободным членом называют коэффициент при x0, то есть число без переменной.
Степень ненулевого многочлена — наибольший показатель переменной, коэффициент при котором не равен нулю. В многочлене 4x5 − x2 + 3 степень равна 5, потому что старшая присутствующая степень — пятая. Степень нужна, чтобы оценивать строение многочлена и выбирать старший его член.
Старший коэффициент — коэффициент при члене с наибольшей степенью. В выражении −3x4 + 2x − 1 старший коэффициент равен −3. У нулевого многочлена все коэффициенты равны нулю, поэтому его степень не считают определённой.
Многочлен записывают как сумму степеней переменной с числовыми коэффициентами, потому что так каждое слагаемое имеет понятную «позицию»: степень переменной и число перед ней. Например, 2x3 − 5x + 1 содержит члены третьей, первой и нулевой степеней. Выражения с переменной в знаменателе, под корнем или с отрицательными и дробными показателями этому определению не соответствуют, поскольку их нельзя представить как конечную сумму разрешённых степеней x.
Чтобы получить стандартный вид, сначала раскрывают скобки, затем складывают подобные слагаемые и располагают результат по убыванию степеней. Это нужно потому, что одинаковые степени могут встретиться в разных местах и повлиять на итоговый коэффициент. Например, 3x2 + 4 − x2 + 2x превращается в 2x2 + 2x + 4.
Степень и старший коэффициент определяют только после упрощения выражения. Причина в том, что слагаемые старшей степени могут уничтожить друг друга: x3 − x3 + 2x = 2x, и степень результата равна 1, а не 3. Поэтому сначала ищут самый большой показатель с ненулевым итоговым коэффициентом, а затем считывают число перед соответствующим членом.
При сложении и вычитании многочленов объединяют коэффициенты при одинаковых степенях, потому что только такие слагаемые являются подобными. При умножении каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, коэффициенты перемножают, а показатели одной переменной складывают: xp · xq = xp+q. После этого снова приводят подобные слагаемые, иначе степень и коэффициенты результата могут быть определены неправильно.
Два многочлена равны, если после приведения к стандартному виду коэффициенты при каждой одинаковой степени совпадают. Порядок слагаемых сам по себе значения не имеет: 2x + 5 и 5 + 2x — одна и та же запись. Сравнивать нужно именно коэффициенты, включая нулевые коэффициенты пропущенных степеней.
| Характеристика | Как определить | Пример |
|---|---|---|
| Стандартный вид | Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и расположить члены по убыванию степеней | 5x3 − 2x + 1 |
| Коэффициенты | Найти числа при каждой степени переменной, учитывая нулевые коэффициенты | В 4x3 − x2 + 7: 4, −1, 0, 7 |
| Свободный член | Взять коэффициент при x0, то есть число без переменной | В −2x2 + 3x − 6 свободный член −6 |
| Степень ненулевого многочлена | Выбрать наибольшую степень с ненулевым коэффициентом | Степень 7x4 − x + 2 равна 4 |
| Старший коэффициент | Найти коэффициент при члене наибольшей степени | В −6x5 + x старший коэффициент −6 |
| Нулевой многочлен | Проверить, что все коэффициенты равны нулю; степень не определена | 0, или 3x − 3x |
Пользуйтесь таблицей после приведения выражения к стандартному виду. Сначала найдите все коэффициенты и свободный член, затем определите степень и старший коэффициент по самому левому ненулевому члену. Если после упрощения остаётся 0, перед вами нулевой многочлен.
Приведите к стандартному виду выражение 3x2 − 2x + 5 + x2 + 4x − 1 и укажите его коэффициенты, степень и старший коэффициент. Нужно объединить слагаемые с одинаковыми степенями x. Затем характеристики читаются уже из упрощённой записи.
Ответ: стандартный вид — 4x2 + 2x + 4. Коэффициенты: 4, 2, 4; степень — 2, старший коэффициент — 4. Коэффициент при пропущенной степени x3 равен 0.
Вычислите (2x2 − 3x + 1) − (x2 + 2x − 4) и укажите степень результата. При вычитании второго многочлена меняются знаки всех его слагаемых. После раскрытия скобок подобные члены нужно объединить.
Ответ: x2 − 5x + 5; степень полученного многочлена — 2. Знаки во втором многочлене изменились из-за знака минус перед скобками. Если изменить только один знак, результат будет неверным.
Найдите k, при котором многочлен (k − 2)x3 + 4x − 1 имеет степень не выше второй. Чтобы убрать третью степень, её коэффициент должен стать равным нулю. После этого нужно проверить, не исчезли ли следующие члены.
Ответ: k = 2, получившийся многочлен — 4x − 1. Его степень равна 1. Нельзя сразу объявлять степень равной 2: коэффициент при x2 отсутствует и равен нулю.
Ошибка — называть наибольшую степень по исходной записи, не приведя подобные слагаемые. Например, в x3 − x3 + x третья степень сокращается. Проверка: сначала выполните все преобразования, а степень ищите только в окончательном виде.
Иногда свободным членом считают число без x, но забывают его знак. В выражении −x2 + 3 свободный член равен 3, а не −3, потому что знак минус относится к члену с x2. Проверка: мысленно запишите число как 3x0.
При вычитании многочлена часто меняют знак только первого слагаемого в скобках. Минус перед скобками относится ко всей скобке, поэтому знаки всех её членов должны измениться. Проверка: перепишите действие как прибавление противоположного многочлена.
При умножении путают действия с коэффициентами и показателями. Коэффициенты перемножают, а показатели складывают только у степеней одной переменной: 3x2 · 4x3 = 12x5. Проверка: отдельно вычислите 3 · 4 и 2 + 3.
До изучения многочленов нужно уметь раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и применять свойства степеней с целыми неотрицательными показателями. Эти навыки используются почти в каждом преобразовании многочлена.
Степень многочлена понадобится при разложении на множители и решении уравнений. По степени можно заранее оценить, насколько сложным окажется дальнейшее преобразование.
Операции с многочленами служат основой для деления многочленов и изучения теорем об их корнях. Поэтому аккуратное выполнение действий здесь пригодится в следующих темах.
Можно ли считать выражение с переменной в знаменателе многочленом?
Нет, выражение с переменной в знаменателе не является многочленом от этой переменной. В многочлене показатели переменной должны быть целыми неотрицательными числами, а деление на x означает степень x⁻¹.
Как найти степень многочлена, если некоторые слагаемые сокращаются?
Сначала раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Затем выберите наибольшую степень, коэффициент при которой не равен нулю.
Чем степень многочлена отличается от его старшего коэффициента?
Степень — это наибольший показатель переменной в ненулевом многочлене. Старший коэффициент — число, стоящее при члене с этой степенью.
Как определить свободный член, если в записи нет слагаемого без переменной?
Свободный член в таком многочлене равен 0. Например, в 4x² − 3x нет отдельного числа, поэтому его можно записать как 4x² − 3x + 0.
Почему у нулевого многочлена не определяют степень?
У нулевого многочлена все коэффициенты равны нулю, поэтому нет наибольшей степени с ненулевым коэффициентом. Значит, правило определения степени к нему применить нельзя.
§ 34. Многочлены от одной переменной
