§ 1. Многочлены от одной переменной

Определения и обозначения

Многочлен от одной переменной — выражение, являющееся суммой одночленов с одной переменной и неотрицательными целыми показателями степени. Например, 3x² − 2x + 5 — многочлен, а выражение с x в знаменателе — нет. Такое определение помогает сразу понять, какие выражения можно обрабатывать по правилам действий с многочленами.

Стандартный вид многочлена — запись, в которой подобные слагаемые уже приведены, а одночлены расположены по убыванию степеней переменной. Подобными называют слагаемые с одинаковой переменной в одинаковой степени, например 2x² и −5x². Стандартная запись убирает лишние слагаемые и позволяет быстро сравнивать многочлены.

Степень многочлена — наибольший показатель переменной среди его ненулевых одночленов. Например, у многочлена 4x³ − 2x + 7 степень равна 3. Степень показывает, какой одночлен задаёт старшую часть выражения, и помогает классифицировать многочлены.

Коэффициенты — числовые множители одночленов, а свободный член — слагаемое, которое не содержит переменную. В записи 4x³ − 2x + 7 коэффициенты при x³ и x равны 4 и −2, а свободный член равен 7. Эти числа нужны для описания состава многочлена и для вычислений с ним.

Как это устроено

Многочлен составляют из одночленов, потому что каждый из них задаёт отдельную степень переменной, а сложение объединяет эти части в одно выражение. Показатели берут целыми и неотрицательными: это позволяет строить выражение из произведений переменной и числового коэффициента без деления на переменную или извлечения из неё корня. Например, x³ и ½x — допустимые одночлены, а x⁻¹ и √x — нет. Поэтому допустимый набор степеней имеет вид 0, 1, 2 и далее.

Чтобы получить стандартный вид, сначала складывают коэффициенты при одинаковых степенях, а затем расставляют оставшиеся слагаемые от старшей степени к младшей. Подобные слагаемые объединяют потому, что в них повторяется одна и та же переменная в той же степени: 2x² + 3x² = 5x². Слагаемые с разными степенями обозначают разные части выражения и в одно слагаемое не объединяются. Порядок по убыванию помогает сразу увидеть структуру многочлена и не пропустить старший член.

В стандартной записи степень ненулевого многочлена читают по первому слагаемому: это слагаемое содержит наибольшую степень переменной. Его числовой множитель — старший коэффициент, а член без переменной — свободный член. Например, в 4x³ − 2x + 7 степень равна 3, старший коэффициент равен 4, свободный член равен 7. У нулевого многочлена нет ненулевых членов, поэтому максимальный показатель определить нельзя; его степень рассматривают отдельно и обычно не определяют.

Два многочлена равны, если после приведения к стандартному виду у них совпадают коэффициенты при каждой соответствующей степени. Причина в том, что одинаковые степени переменной — это одинаковые слагаемые, а значит, равенство выражений требует совпадения их числовых множителей. Если какой-то степени в записи нет, её коэффициент считают равным нулю. Так, x² + 1 и x² + 0x + 1 — одна и та же запись по смыслу.

При сложении многочленов объединяют слагаемые одинаковых степеней, а при вычитании сначала раскрывают скобки с учётом знака перед ними. Минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого внутри, потому что вычитается всё выражение целиком. При умножении каждый одночлен первого многочлена умножают на каждый одночлен второго, после чего приводят подобные. Эти действия опираются на распределительное свойство умножения: a(b + c) = ab + ac.

Элементы многочлена в стандартном виде

Сначала найдите слагаемое с наибольшей степенью: оно подскажет степень многочлена и старший коэффициент. Затем проверьте, какое слагаемое не содержит x, — это свободный член. Коэффициенты при переменной не смешивайте со свободным членом.

Разбор задач

Задача 1. Записать многочлен 5x − 3 + 2x³ − x² в стандартном виде и назвать его степень, старший коэффициент и свободный член. Слагаемые уже раскрыты, поэтому нужно только упорядочить их по степеням. Затем характеристики можно прочитать непосредственно из записи.

1. Расположим степени от большей к меньшей: 2x³ − x² + 5x − 3.
2. Наибольший показатель равен 3, значит, степень многочлена равна 3.
3. Коэффициент при 2x³ — старший и равен 2; слагаемое без x равно −3.

Ответ: 2x³ − x² + 5x − 3; степень 3, старший коэффициент 2, свободный член −3.

Задача 2. Упростить выражение (3x² − 4x + 1) − (x² + 2x − 5) и определить степень результата. Поскольку перед второй скобкой стоит минус, нужно изменить знаки всех её слагаемых, а не только первого. После этого можно собрать члены одинаковых степеней.

1. Раскрываем скобки: 3x² − 4x + 1 − x² − 2x + 5.
2. Собираем подобные: (3x² − x²) + (−4x − 2x) + (1 + 5) = 2x² − 6x + 6.
3. Слагаемое наибольшей степени — 2x²; оно не сократилось, поэтому степень результата равна 2.

Ответ: 2x² − 6x + 6; степень 2.

Задача 3. Вычислить произведение (2x − 3)(x² + x + 4), записать результат в стандартном виде и найти его значение при x = 2. При умножении важно получить произведения каждой пары одночленов. Только после этого можно сложить подобные члены и подставить значение переменной.

1. Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй: 2x³ + 2x² + 8x − 3x² − 3x − 12.
2. Приводим подобные слагаемые: 2x³ − x² + 5x − 12.
3. Подставляем x = 2: 2 · 8 − 4 + 10 − 12 = 10.

Ответ: произведение равно 2x³ − x² + 5x − 12; при x = 2 его значение равно 10.

Типичные ошибки

Иногда степенью многочлена называют число его слагаемых. Так происходит, если ориентироваться на длину записи, а не на показатели переменной. Проверьте себя: приведите выражение к стандартному виду и найдите наибольшую степень среди ненулевых членов.

При раскрытии скобок перед которыми стоит минус некоторые меняют знак только у первого слагаемого. Минус относится ко всему содержимому скобок, поскольку меняет знак каждого слагаемого при вычитании суммы. Для проверки мысленно умножьте каждое слагаемое внутри скобок на −1 и сравните полученную запись.

Слагаемые 3x и 3x² могут ошибочно сложить, потому что у них одинаковый числовой множитель и одна переменная. Однако показатели различны, поэтому это неподобные слагаемые и объединять их нельзя. Перед приведением проверьте отдельно коэффициент, переменную и её показатель.

Свободный член иногда принимают за коэффициент при переменной, поскольку оба являются числами в записи многочлена. Но свободный член не содержит переменную, тогда как коэффициент умножается на одночлен с переменной. Чтобы не перепутать их, найдите член без x и отдельно прочитайте множители остальных членов.

Связь с другими темами

Для изучения многочленов понадобятся понятия одночлена, его степени и коэффициента, а также правила действий с алгебраическими выражениями. Особенно важно уверенно раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Эти навыки помогают не потерять знаки и правильно определить степень результата.

Многочлены встречаются при разложении выражений на множители и решении многочленных уравнений. Они также задают функции: степень и коэффициенты влияют на свойства функции и вид её графика. Поэтому умение читать и преобразовывать многочлен пригодится в дальнейшей алгебре.

Что запомнить

• Многочлен — это сумма одночленов с одной переменной.
• В стандартном виде подобные слагаемые уже приведены.
• Одночлены в стандартном виде располагают по убыванию степеней переменной.
• Степень ненулевого многочлена равна наибольшему показателю переменной.
• Старший коэффициент — коэффициент при одночлене наибольшей степени.
• Свободный член не содержит переменной.
• Действия с многочленами выполняют по общим правилам раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.