§ 2. Схема Горнера

Определения и обозначения

Многочлен P(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+…+a₀ — сумма степеней переменной x с числовыми коэффициентами. Числа aₙ, aₙ₋₁,…,a₀ называют коэффициентами: aₙ — старший коэффициент, а a₀ — свободный член. Старший коэффициент стоит при наибольшей степени x, а свободный не содержит x. Эти обозначения нужны, чтобы записывать многочлен в порядке убывания степеней и строить схему.

Схема Горнера — последовательность умножений и сложений, которую применяют для вычисления значения многочлена или его деления на двучлен x−a. Двучлен — выражение из двух слагаемых, например x−2. Схема использует коэффициенты исходного многочлена и число a, а не развёрнутое вычисление каждой степени. Благодаря этому вычисления можно выполнить коротко и по одному правилу.

При делении P(x) на x−a получается частное Q(x)=bₙ₋₁xⁿ⁻¹+…+b₁x+b₀ и остаток r. Числа bₙ₋₁,…,b₀ — коэффициенты частного: именно их, кроме последнего результата схемы, получают в промежуточных шагах. Их значения связаны с исходными коэффициентами умножением на a и сложением с очередным коэффициентом. Запись частного помогает представить многочлен как произведение x−a и Q(x), если остаток равен нулю.

Остаток r — число, которое остаётся после деления многочлена на x−a; оно равно P(a). Действительно, деление даёт равенство P(x)=(x−a)Q(x)+r, а при подстановке x=a слагаемое (a−a)Q(a) обращается в ноль. Поэтому последнее число схемы сразу показывает и остаток, и значение многочлена в точке a. Если оно нулевое, a — корень многочлена.

Как это устроено

Многочлен можно записать во вложенном виде: P(x)=((…((aₙx+aₙ₋₁)x+aₙ₋₂)x+…)x+a₁)x+a₀. Такая запись получается последовательным вынесением x за скобки. Например, вместо отдельных вычислений x⁴, x³ и x² мы много раз умножаем уже полученный результат на x. При подстановке конкретного числа это уменьшает число вычислений и помогает не потерять слагаемые.

Чтобы начать схему для делителя x−a, выписывают подряд все коэффициенты многочлена, начиная со старшего. Первый коэффициент переносят вниз без изменения: он становится первым коэффициентом частного. Затем его умножают на a, результат складывают со следующим коэффициентом и полученное число записывают в следующую ячейку. Повторение этого действия до конца даёт всю строку схемы.

Промежуточные числа становятся коэффициентами частного не случайно: их получают из равенства P(x)=(x−a)Q(x)+r, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x. Для старшей степени коэффициент частного совпадает со старшим коэффициентом P(x), а каждый следующий формируется из очередного коэффициента P(x) и результата умножения на a. Последний шаг уже не создаёт новый коэффициент частного: он даёт остаток r. Так схема заменяет обычное деление многочленов коротким алгоритмом.

Схема Горнера одновременно вычисляет P(a), потому что вложенная запись многочлена при x=a читается как цепочка умножений на a и сложений с коэффициентами. В последней ячейке как раз находится итог этой цепочки. Значит, чтобы получить значение, не нужно отдельно находить a², a³ и другие степени. Это удобно и при больших степенях, и при проверке вычислений.

Для проверки корня подставляют возможное значение a в схему и смотрят на последнее число. Если оно равно нулю, P(a)=0, значит, a — корень, а x−a — множитель многочлена. Коэффициенты частного позволяют перейти к многочлену меньшей степени и искать следующий корень уже в нём. При делении учитывайте новые коэффициенты и снова проверяйте остаток: найденные корни и соответствующие линейные множители составят разложение.

Элементы схемы Горнера при делении P(x) на x−a

Сначала определите a из делителя x−a, затем выпишите коэффициенты многочлена по порядку. Каждый новый результат записывайте под очередным коэффициентом и используйте на следующем шаге. Последнее число не включайте в коэффициенты частного: это остаток.

Разбор задач

Вычислить значение многочлена P(x)=2x⁴−3x³+x²−5x+7 при x=2 с помощью схемы Горнера.

1. Выпишем коэффициенты по порядку: 2, −3, 1, −5, 7. Для вычисления значения берём число 2 и начинаем с первого коэффициента. Это тот же порядок действий, что и во вложенной записи многочлена.

2. Первое число переписываем: 2. Умножаем его на 2 и прибавляем следующий коэффициент: 2·2+(−3)=1. Полученное число снова умножаем на 2 и прибавляем очередной коэффициент: 1·2+1=3.

3. Продолжаем с оставшимися коэффициентами: 3·2+(−5)=1, затем 1·2+7=9. Последнее число равно значению многочлена в точке 2, потому что схема выполняет вычисления его вложенной формы.

Ответ: P(2)=9.

Разделить многочлен P(x)=x³−4x²+x+6 на x−2 и записать частное и остаток.

1. Делитель имеет вид x−a, поэтому здесь a=2. Коэффициенты делимого: 1, −4, 1, 6; пропущенных степеней нет. Первый коэффициент 1 переписываем без изменения.

2. Умножаем 1 на 2 и прибавляем −4: получаем −2. Далее умножаем −2 на 2 и прибавляем 1: получаем −3. Это коэффициенты частного при x² и x соответственно.

3. Последний шаг: −3·2+6=0. Значит, остаток равен нулю, а последнее число не входит в частное. Полученные коэффициенты дают Q(x)=x²−2x−3.

Ответ: частное x²−2x−3, остаток 0; P(x)=(x−2)(x²−2x−3).

Найти все целые корни многочлена P(x)=x³−6x²+11x−6 и разложить его на линейные множители.

1. Проверим целые кандидаты с помощью схемы Горнера. Для a=1 коэффициенты 1, −6, 11, −6 дают результаты 1, −5, 6, 0. Нулевой остаток подтверждает, что 1 — корень, а частное равно x²−5x+6.

2. Проверим корень для полученного частного: при a=2 коэффициенты 1, −5, 6 дают 1, −3, 0. Значит, 2 — корень, а новое частное равно x−3. Деление уменьшило степень, поэтому для оставшейся линейной части корень виден сразу: x−3 обращается в ноль при x=3.

3. Полученные корни 1, 2 и 3 дают три линейных множителя. Проверка показывает, что их произведение имеет старший коэффициент 1 и совпадает с исходным многочленом.

Ответ: целые корни 1, 2, 3; P(x)=(x−1)(x−2)(x−3).

Типичные ошибки

Пропуск нулевого коэффициента при отсутствующей степени сдвигает все последующие числа и приводит к неверному частному или остатку. Так бывает, если выписывать только явно записанные слагаемые. Проверяйте степени подряд от старшей до нулевой: у x³+2x−1 коэффициенты 1, 0, 2, −1. Ноль ставят именно на месте отсутствующего члена.

Иногда в схему подставляют −a вместо a, потому что знак путают со знаком в делителе. В делителе x−a используемое число — a: например, для x−3 это 3, а для x+3 это −3. Перед началом работы приравняйте делитель нулю и найдите значение x. Такая проверка сразу показывает нужный знак.

Предпоследнее промежуточное число могут ошибочно принять за остаток, особенно если схема записана без разделителей. Но коэффициенты частного появляются до обработки свободного члена, а результат последнего действия и есть остаток. Сверьте число шагов с количеством коэффициентов: последняя ячейка соответствует свободному члену. Также остаток должен совпадать с P(a).

Считать число корнем только по виду многочлена ненадёжно: подходящая на первый взгляд запись ещё не подтверждает равенство P(a)=0. Ошибку допускают, когда не выполняют проверку подстановкой. Проведите схему до последнего числа: корень подтверждён только при нулевом остатке. При сомнении можно проверить результат и прямой подстановкой в исходный многочлен.

Связь с другими темами

Для работы со схемой нужны действия с многочленами, понимание степеней, коэффициентов и деления многочлена на многочлен. Равенство r=P(a) связывает схему с теоремой Безу: остаток при делении на x−a равен значению многочлена в точке a. Поэтому нулевой остаток служит признаком делимости на этот двучлен. Позже схема помогает разлагать многочлены на множители, искать корни и решать алгебраические уравнения.

Что запомнить

• Схема Горнера быстро вычисляет значение многочлена или делит его на x−a.
• Для делителя x−a в схеме используют число a.
• Первый коэффициент многочлена переписывают без изменения.
• Каждое следующее число получают умножением предыдущего на a и сложением с очередным коэффициентом.
• Последнее число равно P(a) и является остатком.
• Если остаток равен нулю, a — корень, а x−a — делитель многочлена.
• Промежуточные числа перед последним образуют коэффициенты частного.