§ 3. Многочлен P(x) и его корень. Теорема Безу

Определения и обозначения

Многочлен P(x) — выражение, составленное из степеней переменной x с целыми неотрицательными показателями и числовыми коэффициентами. Например, x³ − 4x + 1 — многочлен: здесь есть степени x³ и x¹, а также свободный член 1. Обозначение P(x) указывает, что выражение зависит от x и задаёт правило вычисления его значения. Это обозначение удобно, когда нужно подставлять разные числа или обсуждать многочлен целиком.

Корнем многочлена называют число a, при подстановке которого вместо x получается нуль: P(a) = 0. Например, если P(2) = 0, то 2 — корень P(x). Проверка корня нужна, чтобы найти значения переменной, при которых многочлен обращается в нуль. Такие числа затем становятся решениями уравнения P(x) = 0.

Остаток от деления многочлена на другой многочлен — выражение, которое остаётся после выделения целого частного. При делении на двучлен первой степени x − a остаток должен иметь степень меньше единицы. Поэтому он не может содержать переменную x и является числом r. Остаток нужен, чтобы выяснить, делится ли исходный многочлен на x − a без остатка.

Теорема Безу утверждает: остаток от деления P(x) на x − a равен P(a). Здесь a — число, задающее двучлен, а P(a) — значение многочлена при x = a. Теорема превращает деление многочлена в простую проверку подстановкой. Она особенно полезна, когда нужно проверить предполагаемый корень или выделить линейный множитель.

Как это устроено

При делении многочлена P(x) на x − a результат можно представить так: P(x) = (x − a)Q(x) + r. Здесь Q(x) — частное, то есть многочлен, который получается при делении, а r — остаток. Такая запись похожа на деление чисел с остатком: делимое состоит из произведения делителя на частное и добавленного остатка. Она позволяет рассуждать о делении, не выполняя его до конца.

Остаток r не зависит от x, потому что степень остатка должна быть меньше степени делителя. У двучлена x − a степень равна единице, поэтому у остатка степень меньше единицы. Единственный возможный остаток такого вида — постоянное число; нулевой остаток тоже допускается. Значит, в равенстве деления r можно считать обычным числом.

Подставим в равенство деления x = a: получим P(a) = (a − a)Q(a) + r. Поскольку a − a = 0, слагаемое с Q(a) исчезает, и остаётся P(a) = r. Так доказывается теорема Безу: значение многочлена в точке a сразу показывает остаток при делении на x − a. Важно подставлять именно a, потому что нуль делителя x − a достигается при x = a.

Из равенства r = P(a) следует связь корня с делимостью. Если a — корень, то P(a) = 0, значит, остаток равен нулю и P(x) делится на x − a без остатка. И наоборот, если деление прошло без остатка, то r = 0, поэтому P(a) = 0 и a является корнем. Следовательно, корень a и множитель x − a соответствуют друг другу.

Теорема Безу помогает разложить многочлен на множители: проверив число a, можно узнать, является ли x − a множителем, а затем разделить P(x) на этот двучлен. После деления исходное уравнение P(x) = 0 превращается в произведение, равное нулю. Тогда достаточно приравнять к нулю каждый множитель и решить полученные уравнения. Если после деления остался многочлен более высокой степени, его корни нужно искать отдельно.

Связь значения многочлена, остатка и корня

Начинай с первой строки: подстановка a даёт остаток при делении на x − a. Если полученное значение равно нулю, переходи к третьей строке и заключай, что двучлен — множитель. Если значение не равно нулю, деление не будет без остатка.

Разбор задач

Задача 1

Вычислить P(2) для P(x) = x³ − 4x + 1 и определить остаток от деления P(x) на x − 2. Нужно одновременно найти значение многочлена и использовать его как остаток. По теореме Безу делить столбиком не требуется. Достаточно аккуратно подставить число 2 вместо каждой x.

1. Подставим x = 2: P(2) = 2³ − 4 · 2 + 1.
2. Вычислим: 8 − 8 + 1 = 1.
3. По теореме Безу остаток при делении на x − 2 равен P(2), то есть 1.

Ответ: P(2) = 1; остаток равен 1. Число 2 не является корнем, поскольку значение многочлена не равно нулю.

Задача 2

Проверить, является ли −1 корнем P(x) = x³ + 2x² − x − 2, и, если да, разложить многочлен на множители. Сначала вычислим значение в предполагаемом корне: это одновременно проверка корня и остатка при делении на x + 1. Если результат нулевой, выделим множитель x + 1. Частное можно найти группировкой слагаемых.

1. Вычислим P(−1) = (−1)³ + 2(−1)² − (−1) − 2 = −1 + 2 + 1 − 2 = 0.
2. Значит, −1 — корень, а x + 1 — множитель. Сгруппируем: x³ + 2x² − x − 2 = x²(x + 2) − 1(x + 2).
3. Вынесем общий двучлен: (x + 2)(x² − 1). Разность квадратов раскладывается дальше: x² − 1 = (x − 1)(x + 1).

Ответ: −1 — корень; P(x) = (x + 1)(x + 2)(x − 1).

Задача 3

Найти все корни уравнения x³ − 3x² − 4x + 12 = 0, если известно, что один из целых корней — 2. Данное условие позволяет сразу выделить множитель x − 2 по теореме Безу. После деления кубического многочлена останется квадратный, и важно не остановиться на уже известном корне. Решим оба уравнения, полученные из разложения.

1. Так как 2 — корень, P(x) делится на x − 2. Делением получаем частное x² − x − 6.
2. Разложим квадратный множитель: x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2), потому что произведение чисел −3 и 2 равно −6, а сумма равна −1.
3. Получаем (x − 2)(x − 3)(x + 2) = 0. Приравняем множители к нулю: x = 2, x = 3 или x = −2.

Ответ: −2, 2 и 3.

Типичные ошибки

Ошибка: назвать a корнем, хотя P(a) не равно нулю. Так бывает, когда подстановку путают с проверкой условия или допускают ошибку в вычислениях. Корень обязан обращать многочлен в нуль. Проверь вычисление подстановкой ещё раз, включая знаки отрицательных чисел.

Ошибка: при делении на x − a искать P(−a). Вероятно, знак минус в записи двучлена заставляет поменять знак у числа. Но нуль выражения x − a получается при x = a, поэтому подставляют именно a. Для делителя x + 1 сначала запиши его как x − (−1): проверять нужно P(−1).

Ошибка: объявить x − a множителем, не проверив значение P(a). Такой вывод верен только при нулевом остатке, а остаток по теореме Безу равен P(a). Вычисли это значение: если оно не ноль, деление не является точным. Если оно ноль, множитель действительно можно выделить.

Ошибка: после выделения одного множителя считать поиск корней законченным. Причина — найденный корень кажется главным, хотя частное тоже может обращаться в нуль. Реши уравнение для каждого оставшегося множителя. В конце подставь найденные корни в исходное уравнение или проверь разложение умножением.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой Безу нужно уметь вычислять значение многочлена при заданном x: именно подстановка даёт остаток. Также пригодится деление многочленов, потому что после проверки корня часто требуется найти частное Q(x). Эти навыки связывают вычисления со свойствами выражений. Теорема Безу затем применяется при разложении многочленов на множители и решении уравнений P(x) = 0: найденный линейный множитель позволяет перейти к уравнению меньшей степени.

Что запомнить

• Корень многочлена a удовлетворяет равенству P(a) = 0.
• Остаток от деления P(x) на x − a равен P(a).
• Число a — корень P(x) тогда и только тогда, когда x − a — множитель P(x).
• Если P(a) ≠ 0, то x − a не является множителем P(x).
• После выделения линейного множителя оставшуюся часть многочлена нужно исследовать отдельно.