§ 4. Алгебраическое уравнение. Следствия из теоремы Безу

Определения и обозначения

Алгебраическое уравнение — уравнение вида P(x) = 0, где P(x) — многочлен. Его корнями называют значения переменной, при которых многочлен равен нулю. Такая запись позволяет изучать уравнения через свойства многочлена, а не только искать решения прямыми преобразованиями.

Корень алгебраического уравнения — число, обращающее многочлен в левой части уравнения в нуль. Иными словами, a — корень уравнения P(x) = 0 тогда и только тогда, когда a является корнем многочлена P(x). Это помогает заменять проверку решения вычислением значения многочлена.

Теорема Безу утверждает: остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x − a равен P(a). Значит, деление на линейный множитель можно связать с подстановкой числа. Теорема нужна, чтобы быстро проверять предполагаемые корни и выделять множители.

Кратность корня — число повторений линейного множителя x − a в разложении многочлена. Если в разложении есть (x − a)^k, то a — корень кратности k, когда следующий множитель x − a уже не входит. Кратность показывает, сколько одинаковых линейных множителей соответствует одному корню.

Как это устроено

При делении P(x) на x − a частное — многочлен, а остаток — число, потому что делитель имеет первую степень. По алгоритму деления P(x) можно записать как P(x) = (x − a)Q(x) + r, где r — остаток. Если подставить x = a, слагаемое с множителем a − a исчезнет, и останется P(a) = r. Поэтому значение многочлена в точке a сразу даёт остаток, а P(a) = 0 означает делимость без остатка.

Если известен корень a, теорема Безу позволяет представить P(x) как (x − a)Q(x). Чтобы найти другой корень b, проверяют уже Q(b): при b ≠ a множитель x − a в точке b не равен нулю, поэтому P(b) = 0 возможно тогда, когда Q(b) = 0. Так можно последовательно выделять множители для разных корней и сводить задачу к многочлену меньшей степени. Перед делением полезно убедиться, что проверяемое число действительно обращает многочлен в нуль.

Корень a имеет кратность k, если P(x) делится на (x − a)^k, но не делится на (x − a)^(k+1). Это означает, что в разложении подряд стоят k одинаковых множителей x − a. Например, если P(x) = (x − 2)^2(x + 1), то корень 2 имеет кратность 2, а корень −1 — кратность 1. При записи разложения повторение множителя сохраняют: оно сообщает о кратности, хотя значение корня остаётся одним и тем же.

Ненулевой многочлен степени n не может иметь больше n различных корней. Действительно, каждый различный корень даёт линейный множитель, а произведение более чем n линейных множителей имело бы степень больше n. Это рассуждение даёт верхнюю границу, а не обещание, что все корни обязательно существуют. Например, многочлен может не иметь действительных корней или иметь их меньше, чем допускает его степень.

Если многочлен степени n имеет n различных корней a₁, a₂, …, aₙ, то все они дают множители x − a₁, x − a₂, …, x − aₙ. Их произведение уже имеет степень n, поэтому других множителей переменной быть не может: остаётся постоянный множитель. Он равен старшему коэффициенту многочлена, то есть коэффициенту при xⁿ. Поэтому разложение имеет вид P(x) = c(x − a₁)(x − a₂)…(x − aₙ), где c — старший коэффициент.

Связь корней многочлена с делимостью на линейные множители

Сначала найди строку, условие которой выполнено, затем проследи, что из него следует. Таблица помогает перейти от вычисления значения многочлена к делимости и разложению. При работе с кратностью отдельно учитывай повторяющиеся множители и различные значения корней.

Разбор задач

Проверить, является ли число 2 корнем уравнения x³ − 3x + 2 = 0.

1. Обозначим левую часть через P(x) = x³ − 3x + 2. Подставим x = 2: P(2) = 2³ − 3 · 2 + 2.
2. Выполним вычисления: P(2) = 8 − 6 + 2 = 4. Получилось не нулевое значение, поэтому равенство при x = 2 не выполняется.
3. По теореме Безу остаток при делении P(x) на x − 2 равен P(2), то есть 4. Ненулевой остаток также показывает, что x − 2 не является множителем.

Ответ: число 2 не является корнем уравнения; остаток при делении на x − 2 равен 4.

Разложить многочлен x³ − 2x² − 5x + 6 на множители, если известно, что его корень равен 1.

1. Так как 1 — корень, по теореме Безу многочлен делится на x − 1. Делим x³ − 2x² − 5x + 6 на x − 1 и получаем частное x² − x − 6.
2. Разложим квадратный трёхчлен: нужны два числа с произведением −6 и суммой −1. Это −3 и 2, поэтому x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2).
3. Соединим выделенный множитель с разложением частного. Проверка показывает, что произведение действительно возвращает исходный многочлен.

Ответ: x³ − 2x² − 5x + 6 = (x − 1)(x − 3)(x + 2); корни — 1, 3 и −2.

Найти все корни уравнения x⁴ − 2x³ − 3x² + 4x + 4 = 0 и определить их кратности.

1. Проверим подходящие целые значения. При x = 2 получаем 16 − 16 − 12 + 8 + 4 = 0, значит, x − 2 — множитель. При x = −1 многочлен также равен нулю, поэтому множителем является x + 1.
2. Делим исходный многочлен на x − 2: получаем x³ − 3x − 2. Этот кубический многочлен делится на x − 2, а частное равно x² + 2x + 1.
3. Квадратный трёхчлен раскладывается как (x + 1)². Значит, исходный многочлен равен (x − 2)²(x + 1)². Повторение каждого множителя дважды определяет кратности.

Ответ: корни 2 и −1, каждый имеет кратность 2.

Типичные ошибки

Нельзя считать a корнем только потому, что в записи уже встречается x − a. Это может быть лишь частью выражения, не являющейся множителем всего многочлена. Ошибку допускают, принимая наличие похожей записи за доказательство; проверь P(a) = 0 или выполни деление и убедись, что остаток равен нулю.

Остаток и частное при делении на x − a — разные вещи. По теореме Безу остаток равен числу P(a), а частное является многочленом меньшей степени. Чтобы проверить себя, запиши деление в виде P(x) = (x − a)Q(x) + r: r — число, Q(x) — частное.

Неверно утверждать, что многочлен степени n обязательно имеет ровно n корней. Теорема гарантирует лишь не более n различных корней, поскольку выделение линейных множителей ограничено степенью. Не подменяй верхнюю границу точным числом: проверяй найденные значения и учитывай, что корней может быть меньше.

Кратный корень нельзя записывать как несколько различных корней. Например, множитель (x − 2)² задаёт одно значение x = 2, но повторённый дважды множитель. Ошибку легко заметить, отдельно выписав список значений и указав кратность каждого; число различных значений не следует путать с числом множителей.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой Безу нужно знать, что такое многочлен, его степень и коэффициенты, а также уметь делить многочлен на многочлен. Подстановка числа в многочлен позволяет вычислить P(a), а разложение на множители помогает увидеть линейные множители и корни. Эти умения объединяются при решении уравнений высших степеней: найденный корень снижает степень уравнения и помогает исследовать остальные корни.

Что запомнить

• Остаток от деления P(x) на x − a равен P(a).
• Число a — корень P(x) = 0 тогда и только тогда, когда P(x) делится на x − a.
• Корню кратности k соответствует множитель (x − a)^k.
• Ненулевой многочлен степени n имеет не более n различных корней.
• Каждый найденный корень позволяет выделить из многочлена линейный множитель.
• Если многочлен степени n имеет n различных корней, он раскладывается на соответствующие линейные множители с учётом старшего коэффициента.