"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Многочлен от одной переменной — это сумма одночленов вида axⁿ, где показатель n является неотрицательным целым числом. Его записывают в стандартном виде, определяют степень, старший коэффициент и свободный член. Такие выражения складывают, вычитают и умножают по обычным алгебраическим правилам. Понимание многочленов необходимо для разложения на множители, решения уравнений и исследования функций.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — это произведение числового коэффициента и неотрицательной целой степени одной переменной. В стандартной записи он имеет вид axn, где a — число, а n = 0, 1, 2, ... . Такая запись показывает, из какого коэффициента и какой степени состоит отдельный член выражения.
Многочлен от одной переменной — сумма одночленов, содержащих одну и ту же переменную в неотрицательных целых степенях. Например, 3x4 − 2x2 + 7x − 5 — многочлен от x. Это определение помогает отличать многочлены от выражений с делением на переменную, корнями или другими недопустимыми показателями.
Стандартный вид многочлена получают после приведения подобных слагаемых и расположения одночленов по убыванию степеней переменной. Например, сначала пишут член с x4, затем с x3, x2, x и, наконец, свободный член. Единая форма записи делает свойства многочлена легко заметными.
Степень ненулевого многочлена — наибольшая степень переменной, коэффициент при которой не равен нулю. У нулевого многочлена все коэффициенты равны нулю, поэтому наибольшей ненулевой степени у него нет. Обычно говорят, что степень нулевого многочлена не определена.
Многочлен составляют сложением одночленов с одной переменной: например, из 4x3, −x и 6 получается 4x3 − x + 6. Показатели должны быть неотрицательными целыми, потому что именно такие степени образуют конечный набор обычных алгебраических членов. Выражения x−1 и x1/2 требуют деления или извлечения корня и относятся уже не к многочленам.
Подобные слагаемые имеют одинаковую степень одной и той же переменной, поэтому их можно объединить, сложив коэффициенты. Например, 3x2 − 5x2 = −2x2. После такого объединения для каждой степени остаётся не более одного коэффициента, поэтому стандартная запись определяется однозначно, если нулевые члены не писать.
В записи anxn + an−1xn−1 + ... + a0 число n — степень многочлена, а an — старший коэффициент. Член a0 не содержит переменной и называется свободным членом. Если какого-то промежуточного члена нет, его коэффициент считают равным нулю.
Сумму многочленов находят почленным сложением: складывают коэффициенты при одинаковых степенях. При вычитании второй многочлен сначала можно заменить на противоположный, изменив знаки всех его членов, а затем сложить. Новые степени при этих действиях не появляются, поэтому результат снова является многочленом.
При умножении раскрывают скобки по распределительному закону: каждый одночлен первого множителя умножают на каждый одночлен второго. Затем используют правило xm · xn = xm+n и приводят подобные слагаемые. Для ненулевых многочленов старший член произведения получается из старших членов множителей, поэтому степень произведения равна сумме степеней.
Таблица показывает, какие свойства можно определить непосредственно по стандартной записи. Сначала приведите выражение к этой записи, а затем найдите нужную характеристику по соответствующей строке.
| Характеристика | Как определяется | Пример для 3x4−2x2+7x−5 |
|---|---|---|
| Стандартный вид | Подобные слагаемые приведены, степени расположены по убыванию | 3x4−2x2+7x−5 |
| Степень многочлена | Наибольшая степень с ненулевым коэффициентом | 4 |
| Старший коэффициент | Коэффициент при члене наибольшей степени | 3 |
| Свободный член | Член без переменной, коэффициент при x0 | −5 |
| Нулевой многочлен | Все коэффициенты равны нулю; степень обычно не определяют | Не является примером |
| Степень суммы и произведения многочленов | Для суммы не больше максимальной степени, для ненулевого произведения равна сумме степеней | Правило применяется при действиях с этим многочленом |
Приведём многочлен 4x2−3x+7−2x2+5x−1 к стандартному виду. После этого определим его степень, старший коэффициент и свободный член.
Ответ: стандартный вид — 2x2+2x+6. Степень равна 2, старший коэффициент равен 2, свободный член равен 6.
Выполним действия в выражении (2x2−x+3)(x−4)+(x2+5x−1). Сначала нужно полностью раскрыть произведение, иначе часть слагаемых будет потеряна.
Ответ: 2x3−8x2+12x−13. Важно, что каждый член первого множителя был умножен на каждый член второго.
Найдём, при каком a степень многочлена (x+2)(x2−ax+3)+2x2−5x−6 станет меньше обычной. Возможное уменьшение степени должно произойти из-за обращения в ноль коэффициента при старшей степени.
Ответ: такого значения a не существует. При любом a многочлен имеет степень 3.
Иногда степень называют по числу слагаемых. Это неверно: в многочлене 2x7+x−3 всего три слагаемых, но степень равна 7. Проверяйте наибольший показатель только после приведения подобных членов.
Если не объединить подобные слагаемые, можно ошибиться в стандартном виде, старшем коэффициенте и степени. Например, запись 4x2−2x2 ещё не показывает итоговый коэффициент при x2. Сначала выполните сокращение, затем упорядочьте члены.
При умножении многочленов некоторые перемножают только одноимённые слагаемые. Так теряются произведения вроде 2x2·(−4) или 3·x. Проверьте себя распределением: число произведений должно быть равно произведению количества членов двух множителей.
Степень суммы не всегда равна большей степени слагаемых. В выражении (x3+1)+(−x3+x) старшие члены уничтожаются, и степень результата становится равной 1. Поэтому сначала сложите коэффициенты при старшей степени.
До изучения многочленов нужны навыки работы с одночленами, степенями с натуральными показателями, раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Без них трудно выполнять даже простые преобразования многочленов.
Многочлены используются при разложении выражений на множители и решении алгебраических уравнений. Они также задают многочленные функции, свойства которых исследуют по их формулам.
Степень многочлена помогает изучать его корни и деление многочленов. Позже это понятие понадобится при работе с многочленными функциями и их графиками.
Почему многочлен нельзя записать со степенями −1 или 1/2?
Степени −1 и 1/2 задают дробно-рациональные или иррациональные выражения: например, x⁻¹ = 1/x, а x¹ᐟ² = √x. Они относятся к другим видам выражений, а многочлен состоит только из степеней с неотрицательными целыми показателями.
Как определить степень многочлена, если старшие слагаемые сокращаются?
Сначала нужно привести подобные слагаемые и удалить те, у которых коэффициент стал равен нулю. После этого степенью будет наибольший показатель переменной среди оставшихся членов.
Чему равна степень нулевого многочлена?
Степень нулевого многочлена обычно не определяют. У него нет ненулевого коэффициента, по которому можно выбрать наибольшую степень.
Почему степень произведения многочленов может быть меньше суммы их степеней?
Для ненулевых многочленов с числовыми коэффициентами степень произведения равна сумме степеней: старшие коэффициенты не могут взаимно уничтожиться. Меньшая степень возможна только в особом случае, когда один из множителей является нулевым многочленом; тогда степень произведения не определена.
Зачем обязательно записывать многочлен в стандартном виде?
Стандартная запись сразу показывает степень, старший коэффициент и свободный член. Кроме того, после приведения подобных слагаемых два одинаковых многочлена получают одну и ту же запись, поэтому их удобно сравнивать и преобразовывать.
§ 3. Многочлены от одной переменной
