§ 1. Многочлены от одной переменной

Определения и обозначения

Многочлен от одной переменной — выражение вида a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + … + aₙ, где aᵢ — числа, а показатели степеней x — целые неотрицательные числа. Например, 2x³ − 5x + 1 — многочлен. Это определение помогает отличить допустимые алгебраические выражения от тех, где переменная стоит в знаменателе или имеет запрещённый показатель.

Степень многочлена — наибольший показатель переменной при ненулевом коэффициенте после приведения подобных слагаемых. Например, степень выражения 3x⁴ + x² равна 4. По степени удобно характеризовать многочлен и выбирать подходящие способы его преобразования или исследования.

Старший коэффициент — коэффициент при члене многочлена с наибольшей степенью переменной. В выражении −2x³ + 4x − 7 старший коэффициент равен −2. Он важен при изучении свойств многочлена и выполнении деления многочленов.

Корень многочлена — значение переменной, при котором значение многочлена равно нулю. Например, число 2 — корень многочлена x − 2, так как при подстановке получается 0. Понятие корня связывает преобразование многочленов с решением уравнений.

Как это устроено

В многочлене переменная может стоять только в степенях 0, 1, 2 и так далее. Например, 1/x = x⁻¹ содержит отрицательную степень, а √x = x¹ᐟ² — дробную, поэтому оба выражения не подходят под определение. Переменная в знаменателе также означает, что её показатель отрицателен после преобразования. Так проверяют, является ли выражение многочленом, ещё до начала вычислений.

Чтобы получить стандартный вид, сначала раскрывают скобки, а затем объединяют подобные слагаемые — те, у которых одинаковая степень переменной. Например, 2x(x + 1) − x² = 2x² + 2x − x² = x² + 2x. После этого члены записывают по убыванию степеней, чтобы сразу видеть степень и старший коэффициент. Стандартная запись делает сравнение и дальнейшие действия удобнее.

Степень определяют после приведения подобных потому, что слагаемые могут взаимно уничтожиться. Например, в x³ + 2x² − x³ + 1 члены x³ и −x³ сокращаются, поэтому выражение превращается в 2x² + 1 и имеет степень 2, а не 3. Если несколько слагаемых имеют наибольшую степень, складывают их коэффициенты. При нулевой сумме ищут следующую наибольшую степень с ненулевым коэффициентом.

При сложении многочленов складывают коэффициенты при одинаковых степенях: например, (2x² + 3x) + (x² − x) = 3x² + 2x. Вычитание выполняют сходным образом, но сначала раскрывают скобки с минусом, меняя знаки всех слагаемых второго многочлена. Это нужно, чтобы вычитать именно каждый его коэффициент, а не только первый. Затем выражение приводят к стандартному виду.

Произведение многочленов раскрывают по распределительному свойству: каждый член первого множителя умножают на каждый член второго. Например, в произведении (x + 2)(x + 3) возникают четыре произведения: x², 3x, 2x и 6. После приведения подобных получается x² + 5x + 6. У ненулевых многочленов степени перемножаемых старших членов складываются, поэтому степень произведения равна сумме степеней множителей.

Основные характеристики многочлена

Пользуйтесь таблицей по порядку: сначала установите, является ли выражение многочленом, затем приведите его к стандартному виду. По старшему члену определите степень и старший коэффициент, а корень проверяйте подстановкой.

Разбор задач

1. Стандартный вид, степень и старший коэффициент

Приведите к стандартному виду многочлен 3x² − 2x + 5 + 4x² + 7x − 1 и укажите его степень и старший коэффициент. Сначала удобно разделить слагаемые по степеням: отдельно собрать члены с x², с x и свободные числа. После сокращения сразу станет виден старший член.

1. Сложим коэффициенты при x²: 3x² + 4x² = 7x².
2. Сложим коэффициенты при x: −2x + 7x = 5x.
3. Сложим числа: 5 − 1 = 4. Получаем 7x² + 5x + 4.

Ответ: стандартный вид — 7x² + 5x + 4, степень — 2, старший коэффициент — 7. Степень и коэффициент определяем по члену 7x², поскольку он имеет наибольшую степень.

2. Вычитание и значение многочлена

Вычислите (2x² − 3x + 1) − (x² + 4x − 5) и найдите значение результата при x = 2. Главная трудность — знак минус перед второй скобкой: он относится ко всем её слагаемым. Поэтому сначала раскроем скобки, а подстановку сделаем после упрощения.

1. Меняем знаки всех членов второй скобки: 2x² − 3x + 1 − x² − 4x + 5.
2. Объединяем подобные: (2x² − x²) + (−3x − 4x) + (1 + 5) = x² − 7x + 6.
3. Подставляем x = 2: 2² − 7 · 2 + 6 = 4 − 14 + 6 = −4.

Ответ: результат вычитания — x² − 7x + 6, при x = 2 его значение равно −4. Проверка знаков на первом шаге помогает избежать ошибки при вычитании.

3. Умножение многочленов

Разложите произведение (x² + 2x − 1)(x − 3) в стандартный вид и укажите степень полученного многочлена. У первого множителя три слагаемых, у второго два, значит, нужно получить шесть произведений. Затем одночлены одинаковой степени можно объединить.

1. Умножаем каждый член первого множителя на x: x³ + 2x² − x.
2. Умножаем каждый член первого множителя на −3: −3x² − 6x + 3.
3. Складываем результаты и приводим подобные: x³ + 2x² − x − 3x² − 6x + 3 = x³ − x² − 7x + 3.

Ответ: x³ − x² − 7x + 3, степень — 3. Старший член x³ не сокращается, поэтому степень произведения совпадает с суммой степеней множителей: 2 + 1 = 3.

Типичные ошибки

Степень иногда называют по первому записанному слагаемому, не приведя выражение к стандартному виду. Так ошибаются, если не замечают сокращения старших членов: например, x³ − x³ + x² имеет степень 2. Для проверки сначала соберите все слагаемые одинаковых степеней, а уже затем найдите наибольшую оставшуюся степень.

Не всякое выражение с x является многочленом: наличие переменной само по себе недостаточно. Ошибка возникает, когда забывают о требованиях к показателям и считают допустимыми x⁻¹ или x¹ᐟ². Проверяйте каждую степень: она должна быть целым неотрицательным числом, а переменная не должна находиться в знаменателе.

При вычитании второго многочлена часто меняют знак только у первого его слагаемого. Причина — минус перед скобкой воспринимают как знак отдельного члена, хотя он умножает на −1 всё выражение внутри. Раскройте скобки по одному слагаемому и проверьте, что каждый знак изменился на противоположный.

При умножении могут перемножить только слагаемые одинаковой степени, как будто выполняется сложение. Но распределительное свойство требует умножить каждый член одного множителя на каждый член другого. Чтобы проверить себя, составьте список всех пар слагаемых; если одно из произведений пропущено, ответ будет неполным.

Связь с другими темами

Для работы с многочленами нужны знания об одночленах, степенях с натуральными показателями, коэффициентах и приведении подобных слагаемых. Эти навыки позволяют преобразовывать выражения, не меняя их значения. Многочлены применяются при разложении на множители, решении уравнений и исследовании функций. При делении многочленов и поиске их корней особенно важны степень, старший коэффициент и значение многочлена.

Что запомнить

• В многочлене показатели степеней переменной — целые неотрицательные числа.
• Перед определением степени многочлен приводят к стандартному виду.
• Степень многочлена задаёт его старший ненулевой член.
• При сложении и вычитании складывают или вычитают коэффициенты одноимённых степеней.
• При умножении каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого.
• Корень многочлена — значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль.