§ 2. Многочлены от нескольких переменных

Определения и обозначения

Одночлен от нескольких переменных — произведение числового коэффициента и степеней переменных с неотрицательными целыми показателями. Его стандартный вид получают, перемножая числовые множители и объединяя степени одинаковых переменных, например 2a · 3a²b = 6a³b. Такая запись помогает видеть, какие переменные входят в одночлен и с какими показателями.

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех переменных в нём. Например, в одночлене 5x²y³ степень равна 2 + 3 = 5, а число 5 перед буквами на результат не влияет. Степень показывает общий порядок переменной части, поэтому нельзя ограничиваться только самым большим показателем.

Многочлен от нескольких переменных — сумма одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания. Если у слагаемых одинаковая буквенная часть, они отличаются только коэффициентами и называются подобными: например, 2x²y и −5x²y. Их можно объединить, чтобы записать многочлен короче и удобнее для дальнейших действий.

Степень многочлена — наибольшая степень входящих в него одночленов после приведения подобных слагаемых. Поэтому сначала нужно упростить выражение: слагаемые могут сократиться, в том числе те, которые имели наибольшую степень. Для нулевого многочлена степень не определяют, так как после упрощения в нём не остаётся ненулевых слагаемых.

Как это устроено

Произведение числового коэффициента и степеней переменных задаёт одночлен, потому что степени с натуральными показателями можно представить как повторное умножение переменных. Например, 3a²b · (−2ab³) содержит числовые множители 3 и −2, а также степени переменных a и b. В стандартном виде одинаковые переменные записывают по одному разу, поэтому их произведение упрощают с помощью правила aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Числовые множители при этом перемножают отдельно.

Степень одночлена находят сложением показателей, потому что каждый показатель показывает число множителей соответствующей переменной. В произведении a²b³ всего пять буквенных множителей: два множителя a и три множителя b, значит, степень равна пяти. Выбор наибольшего показателя учитывал бы только одну переменную и игнорировал бы остальные. Числовой коэффициент не добавляет буквенных множителей и потому на степень не влияет.

Многочлен составляют, соединяя одночлены сложением или вычитанием, например x²y + 3xy² − 4. Складывать можно только подобные слагаемые: буквенная часть у них одинакова, поэтому переменные и их показатели остаются прежними, а меняется лишь коэффициент. Так, 2x²y + 4x²y = 6x²y. Слагаемые x²y и xy² имеют разные буквенные части, и объединить их нельзя.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, сначала раскрывают скобки, затем перемножают одночлены и после этого объединяют подобные слагаемые. При умножении одночленов коэффициенты перемножают, а показатели одинаковых переменных складывают; при раскрытии скобок следят за знаками каждого слагаемого. Например, в произведении (x + y)(x − 2y) каждый одночлен первой скобки умножают на каждый одночлен второй. Только после записи всех полученных слагаемых можно надёжно увидеть подобные и сократить выражение.

Степень многочлена определяют по самому «старшему» одночлену — тому, у которого наибольшая сумма показателей переменных. Но находить его нужно только после упрощения: противоположные коэффициенты при одинаковой буквенной части дают ноль, и такое слагаемое исчезает. Например, 2x²y − 2x²y + xy² имеет степень 3, а не 3 по исчезнувшим первым слагаемым: оставшийся одночлен xy² имеет степень 1 + 2 = 3. Если исчезнут все слагаемые, получится нулевой многочлен, степень которого не определена.

Одночлен и многочлен от нескольких переменных

Сначала проверь по таблице, является ли выражение одним одночленом или суммой одночленов, а затем определи его степень подходящим способом. Для многочлена не забудь предварительно привести подобные слагаемые. Если после упрощения осталось только число, отличное от нуля, его можно рассматривать как одночлен степени 0.

Разбор задач

Задача 1

Условие: Запишите в стандартном виде одночлен 3a²b · (−2ab³) и найдите его степень. Сначала отделим работу с коэффициентами от работы с буквенной частью. Это помогает не смешать правила умножения чисел и степеней.

1. Перемножим числовые коэффициенты: 3 · (−2) = −6.
2. Для одинаковых переменных сложим показатели: a² · a = a³, а b · b³ = b⁴.
3. Запишем результат −6a³b⁴ и сложим показатели: 3 + 4 = 7.

Ответ: −6a³b⁴, степень 7. Отрицательный коэффициент сохраняет знак произведения, но в степень не входит.

Задача 2

Условие: Приведите к стандартному виду многочлен 2x²y − 3xy² + 4x²y + xy² и укажите его степень. Сначала сгруппируем слагаемые с одинаковой буквенной частью. Выражения x²y и xy² не подобны, поскольку у переменных разные показатели.

1. Объединим слагаемые с x²y: 2x²y + 4x²y = 6x²y.
2. Объединим слагаемые с xy²: −3xy² + xy² = −2xy².
3. Получим 6x²y − 2xy²; степени слагаемых равны 2 + 1 = 3 и 1 + 2 = 3.

Ответ: 6x²y − 2xy², степень многочлена 3. Оба слагаемых сохранились и имеют одинаковую степень.

Задача 3

Условие: Упростите выражение (x + 2y)(x − y) − x² + 2y² и определите степень полученного многочлена. Здесь нельзя сразу выбирать слагаемое наибольшей степени: после раскрытия скобок часть слагаемых может сократиться. Поэтому сначала выполним умножение, а степень найдём в самом конце.

1. Раскроем скобки: (x + 2y)(x − y) = x² − xy + 2xy − 2y².
2. Приведём подобные внутри произведения: получим x² + xy − 2y².
3. Подставим это выражение: x² + xy − 2y² − x² + 2y² = xy.
4. У одночлена xy степень 1 + 1 = 2.

Ответ: xy, степень 2. Слагаемые второй степени x² и y² взаимно уничтожились, поэтому степень исходного выражения нельзя было определять до упрощения.

Типичные ошибки

Степень одночлена иногда принимают равной наибольшему показателю переменной: например, считают, что степень a²b³ равна 3. Так происходит, если смотреть на переменные по отдельности, а не на всё произведение. Нужно сложить все показатели: 2 + 3 = 5; проверка особенно проста на одночленах с двумя и более переменными.

Нельзя складывать неподобные одночлены, например x²y и xy²: они не превращаются в одно слагаемое. Ошибку допускают, замечая одинаковый набор букв и не проверяя показатели каждой из них. Перед объединением сравни буквенную часть полностью; если хотя бы один показатель различается, коэффициенты складывать нельзя.

При умножении одночленов могут ошибочно перемножить показатели степеней, например записать a² · a³ = a⁶. Здесь действует правило умножения степеней с одинаковым основанием: показатели складываются, а коэффициенты перемножаются. Проверить себя можно разложением на множители: a² · a³ = aa · aaa = a⁵.

Степень многочлена нельзя надёжно определить до приведения подобных слагаемых. Если слагаемые наибольшей степени имеют противоположные коэффициенты, они исчезнут, и степень результата может стать меньше. После упрощения проверь, какие слагаемые действительно остались, сложи показатели каждой переменной и выбери наибольшую сумму.

Связь с другими темами

Для работы с многочленами нужны навыки раскрытия скобок, действий со степенями одинакового основания и приведения подобных слагаемых. Без них легко ошибиться в знаках или показателях ещё до определения степени. Освоенные приёмы применяются дальше при разложении выражений на множители и решении уравнений. Многочлены с несколькими переменными также служат основой для изучения функций нескольких переменных.

Что запомнить

• Одночлен — числовой коэффициент, умноженный на степени переменных с неотрицательными целыми показателями.
• Степень одночлена равна сумме показателей всех переменных.
• Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть.
• Многочлен состоит из одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания.
• Степень многочлена находят по слагаемым наибольшей степени после приведения подобных.
• Степень нулевого многочлена не определяют.