§ 1. Многочлены от нескольких переменных

Определения и обозначения

Одночлен от нескольких переменных — произведение числового коэффициента и неотрицательных целых степеней переменных. Например, −5a²b³ содержит коэффициент −5 и переменные a, b. Такое определение задаёт выражения, с которыми удобно выполнять алгебраические действия.

Стандартный вид одночлена — запись, в которой числовой коэффициент вынесен отдельно, а одинаковые переменные объединены в степени. Например, 3a·(−2)b²·a³ = −6a⁴b². Стандартная запись помогает быстро сравнивать одночлены и находить их степень.

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. У одночлена 7x²y⁴z степень равна 2 + 4 + 1 = 7. Нулевые показатели не меняют значение произведения, но учитываются при общем подсчёте степеней.

Многочлен от нескольких переменных — конечная сумма одночленов, соединённых знаками плюс или минус. Его степень определяется как наибольшая степень ненулевого одночлена после приведения подобных членов. Поэтому сначала выражение упрощают, а уже затем называют его степень.

Как это устроено

В одночлене показатели переменных должны быть неотрицательными целыми числами, потому что он строится как конечное произведение одинаковых множителей. Запись x³ означает x·x·x, а показатель 0 означает отсутствие множителя: x⁰ = 1 при x ≠ 0. Дробные и отрицательные показатели переводят выражение к корням или дробям, поэтому такие записи относятся уже к другим видам выражений.

При приведении к стандартному виду сначала перемножают числовые коэффициенты, затем собирают одинаковые переменные. Произведение x²·x³ заменяется степенью x⁵, поскольку при умножении степеней показатели складываются. Перестановка множителей не меняет произведение, поэтому буквы можно расположить в удобном порядке.

Степень одночлена считают по всем переменным, а не по самому большому показателю. Например, в 2a³b²c⁴ степень равна 3 + 2 + 4 = 9. Если какая-то переменная отсутствует, её можно мысленно записать с показателем 0: степень 5x²y — это 2 + 1, а не только 2.

Многочлен получают, складывая или вычитая одночлены. Сложить непосредственно можно только подобные одночлены, то есть имеющие одинаковую буквенную часть; тогда складываются лишь коэффициенты: 3x²y − 5x²y = −2x²y. Неподобные слагаемые, например x² и xy, объединить нельзя, потому что они описывают разные произведения переменных.

До сокращения степень суммы обычно не превышает наибольшую степень её слагаемых и часто совпадает с ней. Но одночлены одинаковой степени и одинаковой буквенной части могут взаимно уничтожиться: 4x²y − 4x²y = 0. Поэтому окончательную степень многочлена находят только после приведения подобных членов, выбирая самый высокий показатель среди оставшихся ненулевых одночленов.

Основные понятия многочленов от нескольких переменных

В таблице удобно сначала определить, с каким объектом вы работаете: отдельным одночленом, суммой или группой подобных членов. Для степени всегда проверяйте показатели всех переменных, а для многочлена — окончательную запись после сокращения. Пример в последнем столбце показывает типичный способ применения правила.

Разбор задач

Задача 1. Записать одночлен 3a·(−2)b²·a³ в стандартном виде и найти его степень.

Нужно отдельно обработать коэффициенты и одинаковые буквы. В выражении два множителя содержат переменную a, поэтому их показатели следует сложить. После получения стандартного вида степень найдём как сумму показателей букв.

1. Перемножим коэффициенты: 3·(−2) = −6.
2. Объединим степени a: a·a³ = a⁴, поэтому получаем −6a⁴b².
3. Сложим показатели: 4 + 2 = 6.

Ответ: −6a⁴b²; степень одночлена равна 6.

Задача 2. Привести к стандартному виду и найти степень многочлена 4x²y − 3xy² + 2x²y + 5 − x²y.

Сначала найдём слагаемые с одинаковой буквенной частью. Члены 4x²y, 2x²y и −x²y подобны, а −3xy² и 5 оставляем отдельно. После сокращения проверим степени всех оставшихся членов.

1. Соберём коэффициенты при x²y: 4 + 2 − 1 = 5.
2. Запишем упрощённый многочлен: 5x²y − 3xy² + 5.
3. Степени членов равны 3, 3 и 0 соответственно, поэтому степень многочлена равна 3.

Ответ: 5x²y − 3xy² + 5; степень равна 3.

Задача 3. Выполнить умножение (2x − 3y)(x² + xy + y²) и определить степень результата.

По распределительному закону каждый член первого множителя умножаем на каждый член второго. Затем проверяем, какие произведения являются подобными и могут сократиться. Такой порядок не позволяет пропустить ни один член при раскрытии скобок.

1. Умножим 2x на вторую скобку: 2x³ + 2x²y + 2xy².
2. Умножим −3y на вторую скобку: −3x²y − 3xy² − 3y³.
3. Сложим результаты: 2x³ − x²y − xy² − 3y³.
4. Все оставшиеся члены имеют степень 3, поэтому степень многочлена равна 3.

Ответ: 2x³ − x²y − xy² − 3y³; степень равна 3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать степенью одночлена самый большой показатель. Так делают, перенося правило для одной переменной на несколько переменных. Сложите все показатели: степень 3a²b⁴ равна 6, а не 4.

Ошибка: оставлять одинаковые переменные отдельно, например x²·x³. Причина — забыто свойство произведения степеней с одинаковым основанием. Замените запись на x⁵ и проверьте, что показатель получен сложением.

Ошибка: складывать неподобные одночлены, например 2x² + 3xy = 5x²y. Подобие требует полного совпадения буквенной части и показателей, а не просто наличия одинаковой буквы. Сравнивайте каждую переменную перед сложением коэффициентов.

Ошибка: называть степенью многочлена максимум из исходных слагаемых до упрощения. Старшие члены могли сократиться, и тогда максимальной станет другая степень. Сначала приведите подобные члены, затем выберите степень самого старшего ненулевого одночлена.

Связь с другими темами

Для работы с многочленами нужны свойства степеней, действия с одночленами, распределительный закон и приведение подобных слагаемых. Эти навыки применяются при преобразовании выражений, разложении многочленов на множители и решении уравнений. Позже понятия одночлена и степени понадобятся при изучении функций нескольких переменных, производных и систем уравнений.

Что запомнить

• Одночлен состоит из коэффициента и степеней переменных.
• В стандартном виде одинаковые переменные объединяют в степени.
• Степень одночлена равна сумме показателей всех переменных.
• Многочлен является конечной суммой одночленов.
• Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть.
• Степень многочлена — наибольшая степень ненулевого одночлена после упрощения.
• При сложении и умножении многочленов результат приводят к стандартному виду.