"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Одночлены и многочлены с несколькими переменными помогают записывать и преобразовывать алгебраические выражения, например при раскрытии скобок и разложении на множители. Одночлен состоит из числового коэффициента и переменных в неотрицательных целых степенях. Многочлен — это сумма таких одночленов. Чтобы найти его степень, сначала приводят подобные слагаемые, а затем выбирают слагаемое с наибольшей суммой показателей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен от нескольких переменных — это произведение числового коэффициента и степеней переменных с неотрицательными целыми показателями. Например, −4a³b²c — одночлен: его коэффициент равен −4, а переменные записаны в степенях 3, 2 и 1. Такие записи позволяют кратко представлять повторяющееся умножение и единообразно преобразовывать выражения.
Степень одночлена — сумма показателей всех входящих в него переменных. У ненулевой числовой константы степень равна 0, поскольку переменных в ней нет. Это правило помогает сравнивать одночлены по общей степени, даже если в них используются разные переменные.
Многочлен от нескольких переменных — сумма одночленов, например 2x²y − 3xy + 1. Одночлены с одинаковыми показателями каждой переменной называют подобными: коэффициенты у них могут различаться, но буквенная часть должна совпадать. Это различие показывает, какие слагаемые можно объединять.
Стандартный вид многочлена — запись, в которой подобные одночлены уже приведены. Степень ненулевого многочлена равна наибольшей степени входящих в него одночленов после такого приведения. Поэтому сначала упрощают запись, а уже потом определяют степень.
Одночлен записывают как произведение коэффициента и переменных, возведённых в степени: например, 5x²yz³. Показатели должны быть целыми неотрицательными числами, потому что здесь рассматриваются произведения переменных, а число их повторений не может быть отрицательным или дробным. Переменная без явно указанной степени имеет показатель 1, а переменная, отсутствующая в записи, как будто имеет показатель 0.
Чтобы определить степень одночлена, складывают показатели всех переменных, не обращая внимания на числовой коэффициент. Так, степень −4a³b²c равна 3 + 2 + 1 = 6, а степень 7mn — 1 + 1 = 2. Причина такого правила в том, что каждый показатель считает количество множителей соответствующей переменной, а сумма считает их общее количество.
Подобными бывают только одночлены с одинаковыми показателями при каждой переменной. Например, 2x²y и −5x²y подобны, а 2x²y и −5xy² — нет: во втором случае показатели x и y поменялись местами. Подобные слагаемые объединяют, складывая коэффициенты и оставляя буквенную часть прежней: 2x²y − 5x²y = −3x²y.
Чтобы получить стандартный вид многочлена, раскрывают скобки, выполняют умножение, если оно есть, и приводят подобные слагаемые. Например, из 2x(x + y) + 3xy после раскрытия скобок получается 2x² + 2xy + 3xy, а после объединения — 2x² + 5xy. Оставшиеся слагаемые уже не имеют одинаковой буквенной части, поэтому их нельзя сложить.
Степень многочлена находят по степеням слагаемых в стандартном виде: выбирают наибольшую. Например, у 2x² + 5xy степени слагаемых равны 2 и 2, значит, степень многочлена равна 2. Приведение подобных необходимо, потому что слагаемые старшей степени могут сократиться: в x² − x² + y останется y, и степень будет равна 1, а не 2.
| Признак | Одночлен | Многочлен |
|---|---|---|
| Как устроен | Произведение коэффициента и степеней переменных | Сумма одночленов |
| Пример | −4a³b²c | 2x²y − 3xy + 1 |
| Как определяется степень | Сумма показателей переменных | Наибольшая степень слагаемого после приведения подобных |
| Что означает стандартный вид | Запись произведения с числовым коэффициентом и степенями переменных | Подобные слагаемые приведены |
Сравнивайте записи по строке, которая отвечает на нужный вопрос: например, для нахождения степени используйте третью строку. У многочлена сначала проверьте, приведены ли подобные слагаемые. Это помогает не применять правило для одночлена ко всему выражению сразу.
Нужно найти общее число множителей-переменных, а не сравнивать показатели между собой. Числовой коэффициент −4 на степень не влияет. У переменной c показатель не написан, значит, он равен 1.
Ответ: степень одночлена равна 6.
Сначала сгруппируем слагаемые с одинаковыми показателями при каждой переменной. Члены с x²y образуют одну пару, а члены с xy² — другую. После сложения коэффициентов найдём степень каждого оставшегося слагаемого.
Ответ: стандартный вид — 8x²y + 2xy², степень многочлена — 3.
Произведение скобок сначала раскрываем по распределительному свойству: каждый член первой скобки умножаем на каждый член второй. Затем собираем подобные, и только после этого определяем степень. Такой порядок нужен, чтобы не принять за итоговую степень слагаемое, которое впоследствии сократится.
Ответ: 5ab − 3b²; степень многочлена равна 2.
Ошибка — считать степенью одночлена наибольший показатель, а не сумму всех показателей. Её допускают, когда переносят правило для одночлена с одной переменной на несколько переменных. Проверьте себя: выпишите показатель каждой переменной отдельно и сложите их, например у a³b² это 3 + 2, а не 3.
Нельзя складывать коэффициенты у непохожих одночленов, например x²y и xy². Их показатели при x и y различны, поэтому буквенные части не совпадают. Перед объединением сравните показатели каждой переменной; если хотя бы один отличается, слагаемые не подобны.
При умножении одночленов иногда складывают показатели разных переменных. Складывать нужно показатели одной и той же переменной: a²b · ab³ = a³b⁴, а не a³b³. Чтобы проверить результат, отдельно соберите все множители a, затем все множители b.
Ещё одна ошибка — находить степень многочлена до приведения подобных слагаемых. Так можно не заметить, что слагаемые наибольшей степени сократились, как в x² − x² + y. Сначала приведите выражение к стандартному виду и только затем сравнивайте степени оставшихся членов.
Для работы с многочленами нужны свойства степеней с целыми неотрицательными показателями и правила умножения одночленов. Также используются раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых, знакомые по преобразованиям выражений с одной переменной. Эти умения позволяют упрощать выражения с несколькими переменными, раскладывать их на множители и решать уравнения.
Почему степень одночлена равна сумме показателей переменных?
Степень показывает общее число множителей-переменных в произведении. Например, a³b² содержит три множителя a и два множителя b, поэтому его степень равна 3 + 2 = 5. Числовой коэффициент на это число не влияет.
Могут ли 3x²y и 3xy² быть подобными одночленами?
Нет, показатели при переменных у них различаются: у первого при x стоит 2, а при y — 1; у второго наоборот. Для подобия должны совпадать показатели каждой переменной, а не только коэффициенты или общая степень.
Какова степень числовой константы?
Любая ненулевая числовая константа имеет степень 0: её можно представить как число, умноженное на переменные в нулевых степенях. Для нулевого многочлена степень не определяют.
Почему перед определением степени многочлена нужно привести подобные слагаемые?
Слагаемые наибольшей степени могут взаимно уничтожиться при сложении. Если найти степень до упрощения, можно принять за степень многочлена ту, которая в результате исчезнет.
Как определить степень многочлена, если после упрощения он стал нулём?
У нулевого многочлена нет слагаемых, по которым можно выбрать наибольшую степень, поэтому его степень не определяют. Например, выражение x² − x² после приведения подобных равно нулю.
§ 8. Многочлены от нескольких переменных
