"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Уравнение высшей степени содержит переменную в степени больше второй. Обычно его не решают напрямую: сначала ищут способ свести его к знакомому квадратному или линейному уравнению. Для этого используют разложение на множители и замену переменной. Важно учитывать ограничения, возникающие при замене или делении, возвращаться к исходной переменной и проверять полученные корни.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение высшей степени — уравнение, степень которого больше второй. Например, в уравнении x⁴ − 3x + 1 = 0 наибольшая степень переменной равна четырём. Такие уравнения часто преобразуют к более простому виду, чтобы применить уже знакомый способ решения.
Биквадратное уравнение имеет вид ax⁴ + bx² + c = 0, где a ≠ 0. В нём есть только четвёртая и вторая степени переменной, поэтому замена t = x² превращает уравнение в квадратное относительно t. Такой приём упрощает решение, но после него нужно вернуться к x.
Возвратное уравнение — уравнение, коэффициенты которого симметричны относительно середины записи. Например, в x⁴ − 5x³ + 6x² − 5x + 1 = 0 крайние коэффициенты равны, а коэффициенты при x³ и x отличаются одинаковым образом. Такая симметрия позволяет после деления на x² сгруппировать слагаемые через x + 1/x и ввести замену t = x + 1/x.
Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Корень должен подходить не только к преобразованному уравнению, но и к ограничениям, появившимся при решении. Поэтому после замены или деления проверяют допустимость найденных значений и их соответствие исходному уравнению.
Для уравнения высокой степени не всегда существует простой способ сразу найти корни. Поэтому сначала ищут знакомую структуру: квадратный трёхчлен, общий множитель или повторяющееся выражение. Разложение на множители и замена переменной уменьшают сложность задачи, сводя её к уравнениям, которые уже умеют решать.
В биквадратном уравнении степени x⁴ и x² связаны: если обозначить x² через t, то x⁴ станет t². Получится обычное квадратное уравнение, которое решают стандартным способом. Однако t обозначает квадрат действительного числа, а значит, t ≥ 0; отрицательный корень для t не может дать действительное значение x.
Если удалось представить уравнение как произведение множителей, используют свойство нуля: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому вместо одного сложного уравнения решают несколько более простых. Ни один множитель нельзя пропустить: корни любого из них могут быть корнями исходного уравнения.
Возвратное уравнение узнают по симметрии коэффициентов, записанных по убыванию степеней. В уравнении четвёртой степени с ненулевым свободным членом x = 0 не является корнем, поэтому можно разделить все слагаемые на x². После этого слагаемые удобно объединить в пары x + 1/x и x² + 1/x²; для второго выражения действует равенство x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2.
Решение удобно вести по порядку, чтобы не потерять допустимые значения. Сначала определяют вид уравнения, затем выбирают замену или разложение на множители и решают полученные уравнения. После этого отбирают значения с учётом ограничений, возвращаются к исходной переменной и проверяют ответы в начальном уравнении.
| Вид уравнения | Распознающий признак | Основной приём | Ограничения и проверка |
|---|---|---|---|
| Биквадратное уравнение | Есть только x⁴, x² и свободный член | Замена t = x² | Учитывать t ≥ 0; вернуться к x |
| Уравнение, сводимое к произведению множителей | Многочлен можно разложить на множители | Приравнять каждый множитель к нулю | Решить уравнения для всех множителей |
| Возвратное уравнение четвёртой степени | Коэффициенты симметричны относительно середины | Разделить на x² и заменить t = x + 1/x | Проверить x ≠ 0 и действительность корней |
| Уравнение, решаемое заменой переменной | Повторяется одно и то же выражение | Обозначить повторяющееся выражение за t | Решить уравнение после возврата к x |
Сначала найди признак, который подходит к уравнению, а затем выбери соответствующий приём. Столбец об ограничениях напоминает, что при замене или делении могут появиться дополнительные условия. В конце проверь, что найденные значения действительно подходят исходному уравнению.
Задача. Решить уравнение 2x⁴ − 5x² + 2 = 0. Степени переменной — четвёртая и вторая, значит, это биквадратное уравнение. Обозначим t = x², чтобы получить квадратное уравнение.
Ответ: x = −√2, −√(½), √(½), √2.
Задача. Решить уравнение x⁴ − 5x³ + 6x² − 5x + 1 = 0. Коэффициенты симметричны, а свободный член равен 1, поэтому x ≠ 0. Разделим уравнение на x² и воспользуемся выражением x + 1/x.
Ответ: x = 2 − √3, 2 + √3.
Задача. Решить уравнение (x² − 3x)² − 4(x² − 3x) − 12 = 0. Выражение x² − 3x встречается дважды, поэтому обозначим его буквой t. Тогда сначала решим уравнение относительно t, а после — два полученных уравнения относительно x.
Ответ: x = (3 − √33)/2, (3 + √33)/2, 1, 2.
После замены t = x² иногда принимают отрицательный корень уравнения для t и пытаются извлечь из него действительный корень x. Ошибка возникает, если забыть, что квадрат действительного числа неотрицателен. Проверь каждый найденный t условием t ≥ 0 до возврата к x.
При разложении на множители можно решить уравнение только для одного множителя и потерять остальные корни. Так бывает, если забыть, что нулю должен равняться хотя бы один из всех множителей. Запиши отдельное уравнение для каждого множителя и проверь, что ни один не пропущен.
Деление на x или x² без проверки может убрать случай x = 0, если он является корнем исходного уравнения. Обычно деление допустимо, когда из свободного члена или исходного уравнения следует, что x ≠ 0. Перед делением отдельно установи это условие или проверь случай x = 0.
После решения уравнения для новой переменной иногда забывают вернуться к x либо не проверяют полученные значения. Тогда ответ остаётся неполным или включает недопустимый корень. Для каждого значения вспомогательной переменной реши уравнение относительно x и подставь итоговые корни в исходное уравнение.
Для решения понадобятся квадратные уравнения, разложение многочленов на множители, формулы сокращённого умножения и метод введения новой переменной. Эти способы продолжают изучение многочленов и применяются также при решении рациональных, показательных и некоторых иррациональных уравнений. При изучении функций с их помощью находят нули многочлена и точки пересечения графика с осью абсцисс.
Как понять, что уравнение является биквадратным?
В биквадратном уравнении переменная встречается только в степенях 4, 2 и 0: ax⁴ + bx² + c = 0. Оно становится квадратным, если обозначить x² через новую переменную t.
Почему при замене t = x² нельзя брать отрицательные значения t?
Квадрат действительного числа не бывает отрицательным: x² ≥ 0 для любого действительного x. Поэтому отрицательное значение t не даст действительных корней исходного уравнения.
Зачем при решении возвратного уравнения делить на x²?
После деления степени можно сгруппировать так, чтобы появилось выражение x + 1/x, удобное для замены. Перед делением нужно убедиться, что x ≠ 0; в уравнении с ненулевым свободным членом это обычно сразу видно.
Как не потерять корень при разложении уравнения на множители?
Если произведение равно нулю, нужно приравнять к нулю каждый его множитель и решить полученные уравнения. Затем объединить все найденные корни и проверить их в исходном уравнении.
Обязательно ли проверять корни после решения уравнения высшей степени?
Да, проверка помогает отсеять значения, которые не подходят из-за ограничений или появились при преобразованиях. Особенно внимательно проверяй корни после замены переменной и деления на выражение с x.
§ 35. Уравнения высших степеней
