§ 36. Рациональные уравнения

Определения и обозначения

Рациональное уравнение — уравнение, в котором неизвестная входит в числители или знаменатели рациональных дробей. Например, в уравнении 1/x = 2 неизвестная находится в знаменателе. Обычно дроби преобразуют так, чтобы после умножения на общий знаменатель получить уравнение без дробей.

Область допустимых значений уравнения, или ОДЗ, — все значения неизвестной, при которых знаменатели исходного уравнения отличны от нуля. Например, для дроби 1/(x − 2) допустимы все значения x, кроме 2. ОДЗ помогает сразу понять, какие ответы могут подойти исходному уравнению.

Запрещённые значения — значения неизвестной, при которых хотя бы один знаменатель исходного уравнения становится равным нулю. Для знаменателя x − 2 таким значением будет x = 2, потому что 2 − 2 = 0. Найдя все такие значения, можно не допустить их в ответ.

Посторонний корень — значение, которое получилось при преобразованиях, но не удовлетворяет исходному уравнению. Например, им может оказаться запрещённое значение, при котором исходная дробь не определена. Поэтому найденные корни проверяют не только по преобразованному уравнению, но и на допустимость.

Как это устроено

Решение начинают с поиска запрещённых значений, потому что дробь имеет смысл только при ненулевом знаменателе. Для этого каждый знаменатель приравнивают к нулю и решают полученные уравнения. Так мы заранее отмечаем значения, при которых исходное уравнение вообще нельзя вычислить, и не принимаем их за ответы.

Чтобы избавиться от дробей, нужно выбрать общий знаменатель — выражение, которое делится на каждый знаменатель уравнения. Например, для знаменателей x и x − 2 можно взять x(x − 2). Если в знаменателях есть общие множители, их достаточно включить в общий знаменатель один раз, но с нужной степенью. Так каждый знаменатель сможет сократиться после умножения.

Общий знаменатель можно использовать для умножения обеих частей уравнения только при условии, что он не равен нулю. Если он равен нулю, умножение может превратить неверное или неопределённое исходное выражение в верное равенство. Именно поэтому сначала находят ОДЗ: на ней общий знаменатель, составленный из знаменателей, не обращается в ноль.

После умножения каждый член обеих частей нужно умножить на общий знаменатель. Затем сокращают одинаковые множители в дробях, раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые. Так получают целое уравнение, которое решают знакомым способом: например, линейное уравнение переносят к виду ax = b, а квадратное решают разложением на множители или по формуле.

Корни полученного уравнения сравнивают с запрещёнными значениями и проверяют в исходном уравнении. Это нужно потому, что умножение могло привести к уравнению, имеющему корень вне ОДЗ. Такой корень не подходит, даже если он верно решает преобразованное уравнение; в ответ включают только допустимые значения.

Этапы решения рационального уравнения

Пользуйся таблицей как последовательным планом: переходи к следующему этапу, только выполнив предыдущий. Запрещённые значения удобно записать рядом с ОДЗ, чтобы не потерять их при вычислениях. В конце сверяй с ними каждый найденный корень.

Разбор задач

Задача 1. Решите уравнение (x + 1)/(x − 2) = 3/(x − 2).

1. Находим ограничение: знаменатель x − 2 не должен быть равен нулю, поэтому x ≠ 2. Значение 2 запрещено.
2. Общий знаменатель — x − 2. Умножаем на него обе части уравнения, учитывая условие x ≠ 2: x + 1 = 3.
3. Решаем полученное уравнение: x = 2. Но это запрещённое значение, поэтому оно не подходит исходному уравнению.

Ответ: решений нет. Здесь равенство дробей потребовало бы равенства числителей, однако при найденном значении обе дроби не определены.

Задача 2. Решите уравнение 1/x + 1/(x − 2) = 1.

1. Находим ОДЗ: знаменатели обращаются в ноль при x = 0 и x = 2. Значит, x ≠ 0 и x ≠ 2.
2. Общий знаменатель — x(x − 2). Умножаем на него каждый член: (x − 2) + x = x(x − 2).
3. Раскрываем скобки и переносим всё в одну часть: 2x − 2 = x² − 2x, откуда x² − 4x + 2 = 0.
4. Решаем квадратное уравнение: x = (4 ± √8)/2 = 2 ± √2. Ни одно из этих значений не равно 0 или 2, значит, оба допустимы.

Ответ: x = 2 − √2 или x = 2 + √2.

Задача 3. Решите уравнение 2/(x − 1) + 3/(x + 1) = 1.

1. Записываем ограничения: x − 1 ≠ 0 и x + 1 ≠ 0, поэтому x ≠ 1 и x ≠ −1.
2. Общий знаменатель — (x − 1)(x + 1). Умножаем на него каждый член уравнения: 2(x + 1) + 3(x − 1) = (x − 1)(x + 1).
3. Раскрываем скобки: 2x + 2 + 3x − 3 = x² − 1. После переноса получаем x² − 5x = 0.
4. Разлагаем на множители: x(x − 5) = 0, поэтому x = 0 или x = 5. Оба значения отличаются от запрещённых 1 и −1, значит, они допустимы.

Ответ: 0 и 5. Проверка ограничений нужна даже тогда, когда уравнение после преобразования решается просто: она подтверждает, что оба ответа принадлежат ОДЗ.

Типичные ошибки

Не выписав запрещённые значения заранее, легко принять корень преобразованного уравнения за ответ, хотя исходная дробь при нём не определена. Такая ошибка возникает, когда внимание сосредоточено только на вычислениях. Проверяй каждое найденное значение по всем исходным знаменателям.

Умножать на общий знаменатель без учёта того, что он может равняться нулю, опасно: при таких значениях исходное уравнение не имеет смысла, а преобразованное может их допустить. Ошибку предотвращает запись ОДЗ до умножения. Самопроверка проста: убедись, что общий знаменатель не равен нулю при рассматриваемых значениях.

Неправильный общий знаменатель или умножение не каждого члена уравнения меняют его смысл. Часто это происходит, если торопиться сокращать дроби или забыть про отдельное слагаемое. Перед раскрытием скобок проверь, что каждый знаменатель делит выбранный общий знаменатель и что на него умножены все члены обеих частей.

Если оставить все корни полученного уравнения без проверки, можно включить в ответ посторонний корень. Причина — предположение, что избавление от дробей автоматически гарантирует подходящий ответ. Сверь корни с запрещёнными значениями и, если сомневаешься, подставь допустимые значения в исходное уравнение.

Связь с другими темами

Для решения рациональных уравнений полезно уметь находить нули линейных и квадратных выражений: так определяют запрещённые значения. Разложение многочленов на множители помогает сократить дроби и упростить уравнение, а навыки решения линейных и квадратных уравнений нужны после избавления от знаменателей.

Рациональные уравнения встречаются в задачах на движение и работу: скорость, время или производительность часто выражаются дробями. Эта тема также служит основой для рациональных неравенств и уравнений, которые сводятся к рациональным. Умение находить ОДЗ и проверять ответы понадобится и в этих задачах.

Что запомнить

• До решения найди значения, при которых знаменатели равны нулю.
• Запрещённые значения не могут быть корнями исходного уравнения.
• Общий знаменатель выбирают так, чтобы он был кратен всем знаменателям уравнения.
• Умножай на общий знаменатель только с учётом ограничений области определения.
• После избавления от дробей решай полученное уравнение привычным способом.
• Каждый найденный корень проверь на допустимость и в исходном уравнении.