"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Модуль показывает расстояние от числа до нуля, поэтому не бывает отрицательным. В уравнениях он меняет способ решения: нужно определить знак выражения под модулем или рассмотреть два возможных случая. Для нескольких модулей числовую прямую делят точками, где выражения обращаются в ноль. Умение решать такие уравнения помогает находить корни и понимать, как устроены графики модульных функций.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Модуль числа — неотрицательное расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Для числа x: |x| = x, если x ≥ 0, и |x| = −x, если x < 0. Например, |4| = 4, а |−4| = 4. Это определение нужно, чтобы понимать знак результата и правильно работать с модулем.
Уравнение с модулем — уравнение, в котором неизвестная входит под знак модуля, например |x − 2| = 3. Одинаковое значение модуля могут иметь выражения с разными знаками: расстояние от −3 до нуля такое же, как от 3. Поэтому при решении часто приходится рассматривать несколько случаев. Это помогает не потерять возможные корни.
Раскрытие модуля — замена |f(x)| на f(x) или на −f(x) в зависимости от знака выражения f(x). Если f(x) неотрицательно, знак внутри модуля сохраняется, а если отрицательно — меняется на противоположный. Например, при x < 1 выражение x − 1 отрицательно, значит |x − 1| = 1 − x. Такое правило превращает уравнение с модулем в обычное уравнение.
Метод промежутков — способ решения уравнения с несколькими модулями: числовую прямую делят точками, где выражения под модулями равны нулю. Между соседними точками знак каждого выражения не меняется. Поэтому на каждом промежутке модуль раскрывается одним и тем же способом. Метод нужен, когда разбор отдельных случаев становится громоздким.
Модуль задаёт расстояние, а расстояние не может быть меньше нуля. Отсюда сразу получается полезное ограничение: если модуль равен выражению g(x), то g(x) должно быть неотрицательным. Например, равенство |x| = −2 невозможно при любом x. Проверка правой части до преобразований позволяет сразу исключить невозможные случаи и не решать лишние уравнения.
Чтобы раскрыть модуль, нужно знать знак выражения внутри него. Это связано с определением модуля: для положительного числа расстояние совпадает с самим числом, а для отрицательного — с числом, взятым с противоположным знаком. Поэтому нельзя заранее считать, что |f(x)| всегда равно f(x). Сначала находят, где f(x) положительно или отрицательно, а затем выбирают нужную запись.
В уравнении |f(x)| = a постоянная a задаёт возможную длину расстояния. Если a < 0, равенство не может выполняться; если a = 0, расстояние равно нулю только при f(x) = 0. Если a > 0, до значения a можно добраться как со стороны положительных, так и со стороны отрицательных значений f(x). Поэтому остаются два уравнения: f(x) = a и f(x) = −a. Корни обоих случаев затем проверяют.
В равенстве |f(x)| = g(x) правая часть зависит от x, поэтому сначала определяют, где g(x) ≥ 0. Только на этих значениях равенство вообще возможно, ведь слева стоит неотрицательное число. Затем модуль равен либо самому выражению, либо выражению с противоположным знаком, что даёт случаи f(x) = g(x) и f(x) = −g(x). Полученные корни оставляют лишь тогда, когда они подходят исходному равенству и условию на правую часть.
Когда модулей несколько, знак каждого выражения может меняться в своей точке. Найдите нули всех выражений под модулями и отметьте их на числовой прямой: они разделят её на промежутки. Внутри каждого промежутка знаки постоянны, поэтому все модули можно раскрыть и решить получившееся уравнение. Решение принимают только в том случае, если корень принадлежит промежутку, для которого раскрывались модули; в конце полезно подставить его в исходное уравнение.
График тоже помогает представить смысл решения: корни уравнения — это значения x, при которых графики левой и правой частей пересекаются. Например, уравнение |x − 2| = 3 задаёт пересечения графиков y = |x − 2| и y = 3. Их абсциссы и будут решениями.
Таблица помогает выбрать начало решения: сперва смотрите на вид правой части и дополнительные условия, а затем выполняйте указанное преобразование. После решения проверьте допустимость каждого корня и подставьте его в исходное уравнение. Для нескольких модулей проверка принадлежности промежутку особенно важна.
| Вид уравнения | Дополнительное условие | Преобразование | Что проверить |
|---|---|---|---|
| |f(x)| = a | a ≥ 0 | При a > 0 решить f(x) = a и f(x) = −a; при a = 0 решить f(x) = 0 | Если a < 0, решений нет; корни подставить в исходное уравнение |
| |f(x)| = g(x) | g(x) ≥ 0 | Рассмотреть f(x) = g(x) и f(x) = −g(x) | Знак правой части и исходное равенство |
| |f(x)| = |g(x)| | Дополнительное условие не нужно | Решить f(x) = g(x) или f(x) = −g(x) | Подстановкой проверить оба случая |
| |f(x)| + |g(x)| = h(x) | h(x) ≥ 0 | Учесть знаки f(x) и g(x), раскрыть модули по случаям | Знаки выражений на каждом рассматриваемом промежутке |
| Уравнение с несколькими модулями на промежутках | Учитывать границы промежутков | Найти нули выражений под модулями и решить уравнение на каждом промежутке | Принадлежность корня промежутку и исходное уравнение |
Задача 1. Решить уравнение |2x − 3| = 5. Справа стоит положительное число, поэтому возможны два значения выражения под модулем: 5 и −5. Так мы учитываем оба случая, когда расстояние от 2x − 3 до нуля равно пяти. Решим полученные линейные уравнения.
Оба значения подходят исходному уравнению. Ответ: x = −1; 4.
Задача 2. Решить уравнение |x − 2| = x + 1. Правая часть должна быть неотрицательной, значит x + 1 ≥ 0 и x ≥ −1. Затем рассматриваем два случая: выражение под модулем равно правой части или противоположно ей. Ограничение на x нужно сохранить, чтобы не принять неподходящий корень.
Найденное значение подходит. Ответ: x = ½.
Задача 3. Решить уравнение |x − 1| + |x + 2| = 5. Нули выражений под модулями — x = 1 и x = −2, поэтому прямая делится на три промежутка. На каждом выбираем знаки отдельно: слева от −2 оба выражения отрицательны, между точками знаки разные, справа от 1 оба положительны. После решения каждого уравнения оставляем только корни из соответствующего промежутка.
Проверка в исходном уравнении подтверждает оба корня. Ответ: x = −3; 2.
Первая ошибка — сразу заменить |f(x)| на f(x), не выяснив знак выражения. Так поступают, потому что знак модуля кажется лишним, если выражение записано привычно. Но при отрицательном f(x) модуль равен −f(x), поэтому решение может измениться. Перед раскрытием подставьте пробное значение из рассматриваемого промежутка или решите неравенство f(x) ≥ 0.
Вторая ошибка — забыть, что правая часть равенства с модулем должна быть неотрицательной. Ученик может начать решать уравнение, хотя для некоторых x правая часть отрицательна и равенство невозможно. Сначала запишите условие g(x) ≥ 0, если дано |f(x)| = g(x). После решения проверьте, удовлетворяет ли каждый корень этому ограничению.
Третья ошибка — раскрывать несколько модулей одним и тем же способом на всей числовой прямой. Между точками, где выражения под модулями обращаются в ноль, их знаки постоянны, но при переходе через такую точку знак может измениться. Поэтому определите все нули и рассмотрите каждый промежуток отдельно. Для самопроверки возьмите по одному числу из каждого промежутка и установите знаки выражений.
Четвёртая ошибка — не проверять найденные корни в исходном уравнении. Решая отдельные случаи, можно получить значение, которое не подходит условию на знак или выбранному промежутку. Подстановка в исходное равенство показывает, действительно ли левая и правая части совпадают. Проверяйте все корни, а не только те, которые кажутся очевидными.
Для решения уравнений с модулями полезны определение модуля, навыки решения линейных и квадратных уравнений, систем и неравенств. Метод промежутков опирается на умение отмечать точки на числовой прямой и определять знаки выражений. Если модуль раскрывается по нескольким случаям, полученные уравнения часто оказываются обычными знакомыми уравнениями.
Дальше эти приёмы пригодятся при решении неравенств с модулями и построении графиков кусочно заданных функций — функций, которые задаются разными формулами на разных промежутках. Они также помогают исследовать уравнения с параметрами, когда число решений может зависеть от дополнительного значения. Понимание смены знака под модулем служит основой для всех этих задач.
Почему уравнение |f(x)| = a иногда не имеет решений?
Значение модуля не может быть отрицательным. Поэтому при a < 0 уравнение невозможно; при a = 0 нужно решить f(x) = 0, а при a > 0 проверить два случая.
Всегда ли уравнение |f(x)| = g(x) можно заменить двумя уравнениями?
Два случая f(x) = g(x) и f(x) = −g(x) рассматривают только там, где g(x) ≥ 0. Если g(x) отрицательно, равенство невозможно, потому что модуль неотрицателен.
Как понять, в каких точках нужно разбивать числовую прямую?
Найдите значения x, при которых каждое выражение под модулем равно нулю. Эти точки меняют знак выражения и делят прямую на промежутки.
Нужно ли проверять корни после раскрытия модуля?
Да, найденные значения нужно подставить в исходное уравнение. Проверка помогает отсеять корни, которые возникли при рассмотрении неподходящего промежутка или случая.
Чем решение уравнения с одним модулем отличается от решения уравнения с несколькими модулями?
Для одного модуля часто достаточно рассмотреть два случая или использовать неотрицательность обеих частей. При нескольких модулях обычно находят нули выражений под ними и раскрывают модули отдельно на каждом промежутке.
§ 37. Уравнения с модулями
