"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Модуль показывает расстояние числа от нуля, поэтому он не бывает отрицательным. В уравнении с модулем неизвестное находится внутри знака | |, и для решения нужно выяснить, при каких значениях выражение под модулем положительно или отрицательно. Это приводит к нескольким случаям: каждый из них превращает исходное уравнение в более простое. Главное — не забывать о знаке правой части и правильно разбивать числовую прямую, если модулей несколько.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Модуль числа — это неотрицательное расстояние от числа до нуля на числовой прямой. Например, |−4| = 4 и |4| = 4: расстояние одинаково, хотя числа расположены по разные стороны от нуля. Если под знаком модуля стоит выражение с переменной, его знак может зависеть от значения переменной. Поэтому для решения уравнений важно уметь определять этот знак.
Уравнение с модулем — это уравнение, в котором переменная входит под знак модуля, например |x − 3| = 5. Знак модуля означает, что выражение внутри него рассматривается как расстояние, поэтому оно не может дать отрицательный результат. Это свойство сразу подсказывает, какие ограничения нужно проверить и на какие случаи разделить решение.
Раскрытие модуля — замена выражения с модулем равносильными уравнениями или системами с учётом знака выражения внутри него. Равносильность означает, что преобразованная запись имеет те же решения, что исходная. Такое раскрытие позволяет перейти от уравнения с модулем к обычным уравнениям, которые можно решить известными способами.
Модуль раскрывают по знаку выражения, потому что расстояние всегда записывается неотрицательным числом. Если f(x) ≥ 0, само выражение уже неотрицательно и |f(x)| = f(x). Если f(x) < 0, его нужно изменить на противоположное: |f(x)| = −f(x). Знак выражения определяет, какая из этих записей верна.
В равенстве |f(x)| = a сначала проверяют правую часть: модуль не бывает отрицательным, поэтому при a < 0 решений нет. Если a ≥ 0, значение f(x) может быть равным a или −a, ведь оба числа имеют модуль a. Поэтому исходное равенство заменяют двумя уравнениями: f(x) = a или f(x) = −a, а затем объединяют их решения.
Для равенства |f(x)| = g(x) правая часть тоже обязана быть неотрицательной: требуется g(x) ≥ 0. Без этого условия равенство невозможно, поскольку слева стоит модуль. При допустимых значениях x модуль f(x) равен g(x), когда f(x) = g(x), или когда f(x) = −g(x). Условие на правую часть помогает не оставить значения, при которых исходное равенство заведомо неверно.
Если |f(x)| = |g(x)|, оба выражения после взятия модуля дают неотрицательные значения. Равные расстояния от нуля соответствуют числам, которые либо совпадают, либо противоположны. Поэтому равенство модулей равносильно двум случаям: f(x) = g(x) или f(x) = −g(x). Такой переход заменяет сравнение модулей знакомую совокупность обычных уравнений.
При нескольких модулях нельзя раскрыть все знаки одной и той же формулой для любых x: выражения под ними могут менять знак в разных точках. Сначала находят нули каждого подмодульного выражения — именно там возможна смена знака. Эти точки делят числовую прямую на промежутки, и внутри каждого знаки постоянны. На каждом промежутке раскрывают модули с подходящими знаками, решают полученное уравнение и проверяют, попали ли корни в выбранный промежуток.
| Вид уравнения | Необходимое условие | Равносильный переход |
|---|---|---|
| |f(x)| = a | a ≥ 0 | f(x) = a или f(x) = −a |
| |f(x)| = g(x) | g(x) ≥ 0 | При g(x) ≥ 0: f(x) = g(x) или f(x) = −g(x) |
| |f(x)| = |g(x)| | Оба модуля определены | f(x) = g(x) или f(x) = −g(x) |
| Уравнение с несколькими модулями | Знаки выражений постоянны на каждом выбранном промежутке | Разбить прямую нулями подмодульных выражений и раскрыть модули отдельно на промежутках |
Сначала выбери строку, соответствующую виду уравнения, и выпиши необходимые условия. Затем выполни равносильный переход и реши получившиеся уравнения или случаи. Для нескольких модулей сначала составь промежутки по нулям выражений внутри них.
Справа стоит положительное число 5, значит, модуль может быть ему равен. Выражение 2x − 3 должно иметь модуль 5, поэтому рассматриваем два значения: 5 и −5.
Составим уравнения: 2x − 3 = 5 или 2x − 3 = −5. В первом случае 2x = 8, откуда x = 4; во втором 2x = −2, откуда x = −1.
Оба найденных числа подходят: при подстановке выражение под модулем равно соответственно 5 и −5. Оба значения дают модуль 5. Ответ: x = −1; 4.
Правая часть должна быть неотрицательной, иначе она не может равняться модулю. Поэтому сначала получаем ограничение x + 2 ≥ 0, то есть x ≥ −2. Затем рассматриваем два возможных знака выражения x − 1.
Первый случай: x − 1 = x + 2. После вычитания x получаем −1 = 2, что невозможно, поэтому этот случай решений не даёт. Второй случай: x − 1 = −(x + 2), откуда 2x = −1 и x = −½.
Найденное значение удовлетворяет ограничению x ≥ −2. Проверка в исходном уравнении даёт |−½ − 1| = 3/2 и −½ + 2 = 3/2. Ответ: x = −½.
Нули выражений под модулями равны 2 и −1, поэтому рассматриваем промежутки x < −1, −1 ≤ x < 2 и x ≥ 2. На каждом из них знаки x − 2 и x + 1 постоянны, а значит, модули можно раскрыть определённым образом.
При x < −1 оба выражения отрицательны: −(x − 2) − (x + 1) = 5, откуда x = −2. Это число принадлежит выбранному промежутку. При −1 ≤ x < 2 получаем −(x − 2) + (x + 1) = 3, поэтому решений здесь нет.
При x ≥ 2 оба выражения неотрицательны: (x − 2) + (x + 1) = 5, откуда 2x − 1 = 5 и x = 3. Оно лежит в этом промежутке; проверка исходного уравнения подтверждает и x = −2, и x = 3. Ответ: x = −2; 3.
Для |f(x)| = a иногда записывают только f(x) = a. Так забывают, что отрицательное и положительное числа могут иметь один и тот же модуль. Причина обычно в том, что модуль воспринимают как простые скобки. Проверь себя: если a ≥ 0, должны быть рассмотрены оба уравнения — f(x) = a и f(x) = −a.
Другая ошибка — продолжать решать |f(x)| = a при a < 0. Справа стоит отрицательное число, хотя модуль всегда неотрицателен, поэтому решений здесь нет. Иногда это условие пропускают, потому что сразу начинают раскрывать знак модуля. Перед преобразованиями сравни правую часть с нулём.
В уравнении |f(x)| = g(x) можно забыть условие g(x) ≥ 0 и оставить неподходящие корни. Такая ошибка возникает, когда равенство заменяют двумя уравнениями, не проверив, возможно ли оно по смыслу модуля. Сначала найди значения x, при которых g(x) неотрицательно, а затем проверь кандидатов в исходном уравнении.
Нельзя раскрывать несколько модулей одной формулой сразу для всех x, не определив знаки подмодульных выражений. Их знаки меняются в нулях выражений, поэтому формула, подходящая на одном промежутке, может быть неверна на другом. Чтобы проверить себя, найди все нули, разбей ими прямую и укажи знак каждого выражения на каждом промежутке.
Для решения уравнений с модулями нужны навыки, которые уже встречались в алгебре: нахождение нулей выражений, решение линейных и квадратных уравнений и неравенств. В частности, неравенства помогают задавать ограничения на правую часть и выбирать промежутки, где знаки не меняются. Эти же приёмы используются при решении уравнений и неравенств с модулями. Они пригодятся и при исследовании графиков функций, содержащих модуль.
Почему при раскрытии модуля появляются два случая?
Потому что выражение внутри модуля может быть неотрицательным или отрицательным. В первом случае модуль равен этому выражению, во втором — выражению с противоположным знаком.
Что делать, если правая часть уравнения с модулем отрицательна?
Если уравнение имеет вид |f(x)| = a и a < 0, решений нет: модуль не может быть отрицательным. Если справа стоит выражение g(x), сначала нужно проверить, при каких x оно неотрицательно.
Нужно ли проверять корни после раскрытия модулей?
Да, особенно если при раскрытии использовали промежутки или ограничения на правую часть. Подставь найденные значения в исходное уравнение: это помогает отсеять корни, которые не подходят.
Как выбрать промежутки, если в уравнении несколько модулей?
Найди нули всех выражений под знаками модуля и отметь их на числовой прямой. Эти точки разделят прямую на промежутки, внутри каждого из которых знаки выражений не меняются.
Всегда ли равенство модулей можно заменить двумя уравнениями?
Да, |f(x)| = |g(x)| равносильно совокупности уравнений f(x) = g(x) и f(x) = −g(x). Это верно для любых выражений f(x) и g(x), если затем учитывается область допустимых значений исходного уравнения.
12.1. Уравнения с модулями
