12.2. Неравенства с модулями

Определения и обозначения

Неравенство с модулем — это неравенство, в котором переменная входит под знак модуля, например |2x − 1| < 3. Его решением называют все значения переменной, при которых неравенство становится верным. Поэтому результат обычно записывают промежутками или объединением промежутков.

Модуль числа — неотрицательное расстояние от этого числа до нуля: |x| = x при x ≥ 0 и |x| = −x при x < 0. Например, |−5| = 5 и |3| = 3. Модуль любого выражения тоже неотрицателен, независимо от знака самого выражения.

Равносильные неравенства — это неравенства, имеющие одно и то же множество решений. При решении можно переходить от одного вида записи к другому, только если ни одно подходящее значение не теряется и ни одно лишнее не добавляется. Именно поэтому после преобразований полезно проверять границы и подставлять их в исходное условие.

Раскрытие модуля по определению означает замену |f(x)| на f(x), если f(x) ≥ 0, и на −f(x), если f(x) < 0. Знак подмодульного выражения определяет, какой вариант нужно выбрать. Этот приём позволяет решить даже такое неравенство, для которого готовые формулы применить нельзя.

Как это устроено

При неравенстве |f(x)| < a, где a > 0, расстояние от f(x) до нуля меньше a. На числовой оси это означает, что точка f(x) лежит строго между −a и a, поэтому получается двойное неравенство −a < f(x) < a. При знаке ≤ концы отрезка включаются: −a ≤ f(x) ≤ a.

Условие |f(x)| > a означает, что расстояние до нуля больше a. Точка f(x) тогда находится либо правее a, либо левее −a, поэтому возникают два случая: f(x) > a или f(x) < −a. Эти случаи не соединяют знаком «и», потому что число не может одновременно лежать по обе стороны от нуля; их объединяют знаком «или».

Если справа стоит не постоянное положительное число, а выражение, например g(x), готовые правила нельзя использовать без проверки. При g(x) < 0 условие |f(x)| < g(x) невозможно, поскольку слева стоит неотрицательное число, а |f(x)| > g(x) автоматически выполняется для всех x из области определения. При g(x) = 0 нужно отдельно рассмотреть строгий или нестрогий знак.

Любой модуль можно раскрыть по определению. Сначала решают f(x) = 0 и отмечают найденные точки на оси: они делят её на промежутки, где знак f(x) постоянен. На каждом промежутке заменяют модуль на f(x) или −f(x), решают полученное неравенство и оставляют только решения, принадлежащие этому промежутку.

Завершая решение, объединяют подходящие промежутки из разных случаев. Круглая скобка означает, что граница не входит, а квадратная — что входит. Для проверки можно подставить в исходное неравенство одну внутреннюю точку каждого промежутка и отдельно проверить все границы.

Основные случаи неравенств с модулем

В таблице сначала определите, сравнивается ли модуль с положительным постоянным числом. Затем выберите строку по знаку неравенства и перенесите условие на выражение f(x). После этого решите обычное линейное или квадратное неравенство.

Знаки < и ≤ дают область между двумя границами, а знаки > и ≥ — две внешние области. Различие между строгим и нестрогим знаками проявляется именно в включении граничных точек.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство |2x − 1| < 3.

Справа стоит положительное число 3, поэтому можно применить правило для модуля, меньшего положительной величины. Модуль должен быть меньше 3, значит выражение 2x − 1 расположено между −3 и 3. Остаётся решить двойное линейное неравенство.

1. Запишем −3 < 2x − 1 < 3.
2. Прибавим 1 ко всем трём частям: −2 < 2x < 4.
3. Разделим все части на 2: −1 < x < 2.

Границы не входят, потому что исходный знак строгий. Ответ: x ∈ (−1; 2).

Задача 2. Решить неравенство |x + 2| ≥ 4.

Здесь модуль не меньше положительного числа, поэтому решения находятся по обе стороны от нуля. Используем совокупность: x + 2 ≥ 4 или x + 2 ≤ −4. Нестрогий знак означает, что оба граничных значения нужно включить.

1. Первый случай: x + 2 ≥ 4, откуда x ≥ 2.
2. Второй случай: x + 2 ≤ −4, откуда x ≤ −6.
3. Объединим решения двух случаев: x ≤ −6 или x ≥ 2.

На оси это две внешние части, а точки −6 и 2 закрашены. Ответ: x ∈ (−∞; −6] ∪ [2; +∞).

Задача 3. Решить неравенство |x² − 1| < x + 1.

Правая часть зависит от x, поэтому сначала выясним, где она положительна: x + 1 > 0, то есть x > −1. Затем найдём знак выражения под модулем: x² − 1 = 0 при x = −1 и x = 1. Эти точки делят ось на промежутки, но с учётом условия x > −1 достаточно рассмотреть два из них.

1. При −1 < x < 1 имеем x² − 1 < 0, поэтому |x² − 1| = 1 − x². Получаем 1 − x² < x + 1, или −x² < x, то есть x² + x > 0. На данном промежутке это даёт −1 < x < 0.
2. При x ≥ 1 имеем x² − 1 ≥ 0, поэтому получаем x² − 1 < x + 1. После переноса: x² − x − 2 < 0, или (x − 2)(x + 1) < 0. С учётом x ≥ 1 получаем 1 ≤ x < 2.
3. Объединим результаты двух промежутков: −1 < x < 0 и 1 ≤ x < 2.

Точка x = 1 входит, потому что при ней исходное неравенство превращается в 0 < 2. Точки −1, 0 и 2 не входят по условиям исходного или полученных строгих неравенств. Ответ: x ∈ (−1; 0) ∪ [1; 2).

Типичные ошибки

Записывают |f(x)| > a как одно двойное неравенство, например −a > f(x) > a. Такая цепочка невозможна и пропускает реальные значения по обе стороны от нуля. Проверьте себя геометрически: при большем расстоянии нужны две внешние области, соединённые «или».

Применяют правила для |f(x)| < a или |f(x)| > a, не проверив, что a > 0. Если правая часть отрицательна или зависит от x, смысл условия меняется. Сначала исследуйте её знак и только потом выбирайте формулу.

Раскрывают модуль без разделения на случаи по знаку подмодульного выражения. Например, |f(x)| нельзя всегда заменять на f(x), поскольку f(x) может быть отрицательным. Найдите нули f(x) и укажите промежуток, на котором используется каждая замена.

Неверно работают с граничными точками: включают их при строгом знаке или исключают при нестрогом. Ошибка возникает, если ориентироваться только на вид ответа и забыть исходное условие. Подставьте каждую границу в исходное неравенство — это быстро показывает правильный результат.

Связь с другими темами

Для решения нужны определение модуля, свойства числовых неравенств, а также методы решения линейных и квадратных неравенств. Без них преобразование модуля не завершится получением ответа.

Тема опирается на разбиение числовой оси на промежутки, системы и совокупности неравенств. Знак «и» означает пересечение условий, а «или» — объединение найденных множеств.

Эти приёмы пригодятся при работе с рациональными и другими выражениями под знаком модуля. В более сложных задачах меняются только способы исследования знаков и решения полученных неравенств.

Что запомнить

• Модуль любого выражения неотрицателен.
• При a > 0 неравенство |f(x)| < a равносильно −a < f(x) < a.
• При a > 0 неравенство |f(x)| ≤ a равносильно −a ≤ f(x) ≤ a.
• При a > 0 неравенство |f(x)| > a равносильно f(x) > a или f(x) < −a.
• При a > 0 неравенство |f(x)| ≥ a равносильно f(x) ≥ a или f(x) ≤ −a.
• Если правая часть зависит от x, сначала установи её знак.
• При раскрытии модуля по определению обязательно учитывай знак выражения под модулем.