12.3. Метод интервалов для непрерывных функций

Определения и обозначения

Непрерывная функция — функция, не меняющая знак без прохождения через нуль или точку, где она не определена. Проще говоря, её график на рассматриваемом промежутке не совершает скачков, поэтому перейти от положительных значений к отрицательным он может только через ось Ox. Это свойство позволяет исследовать знак функции не в каждой точке, а на целых промежутках.

Нуль функции — значение x, при котором f(x) = 0. Такие значения находят решением уравнения f(x) = 0 и отмечают на числовой прямой. В этих точках знак выражения может измениться, поэтому их учитывают при разбиении прямой.

Интервал знакопостоянства — промежуток области определения, на котором функция сохраняет один знак. Она может быть на всём интервале положительной или на всём интервале отрицательной. Зная знак на таком промежутке, можно сразу понять, подходит ли он для заданного неравенства.

Метод интервалов — способ решения неравенств по знакам функции на промежутках, разделённых нулями и недопустимыми точками. Сначала находят эти точки, затем выясняют знак функции на каждом получившемся интервале. В конце выбирают промежутки и граничные точки, удовлетворяющие условию неравенства.

Как это устроено

Неравенство f(x) > 0 означает, что нужно найти все допустимые x, при которых функция принимает положительные значения. Для f(x) ≥ 0 подходят как положительные значения, так и нули функции. Значит, решение сводится к исследованию знака, а не к поиску конкретного значения функции для каждого x.

Нули функции и точки, где она не определена, делят числовую прямую на промежутки. Внутри каждого промежутка нет ни одного отмеченного нуля и нет недопустимой точки, поэтому выражение остаётся определённым и не обращается в нуль. Именно эти условия позволяют исследовать знак отдельно на каждой части прямой.

Непрерывная функция на таком промежутке не может изменить знак, не обратившись в нуль. Если бы она стала сначала положительной, а затем отрицательной, график при непрерывном переходе пересёк бы ось Ox. Тогда внутри промежутка находился бы нуль, но все нули уже были отмечены на границах.

Чтобы узнать знак на промежутке, выбирают любое удобное пробное значение и подставляют его в функцию. Полученный знак относится ко всему промежутку, потому что внутри него функция не может изменить знак. Пробное число не должно совпадать с нулём функции или точкой, где выражение не определено.

После проверки знаков выбирают интервалы, на которых неравенство выполняется. При строгом знаке нули функции не включают, а при нестрогом их можно включить, если функция в этих точках определена. Недопустимые точки исключают всегда, даже если они отделяют подходящие интервалы друг от друга.

На графике видно, как нули разделяют ось Ox на промежутки с постоянным знаком функции.

Этапы метода интервалов

Двигайся по строкам таблицы сверху вниз: пропуск области определения или нулей может привести к неверным границам. На числовой прямой отмечай нули и недопустимые точки разными способами, чтобы не перепутать их при записи ответа. После определения знаков отдельно проверь, какие границы разрешено включить.

Разбор задач

Решить неравенство (x − 2)(x + 1) > 0.

1. Найти нули множителей: x − 2 = 0 даёт x = 2, а x + 1 = 0 даёт x = −1. Выражение определено при всех действительных x.
2. Отметить точки −1 и 2: они делят прямую на интервалы (−∞; −1), (−1; 2) и (2; +∞). Чтобы найти знак на каждом интервале, удобно подставить числа −2, 0 и 3 соответственно.
3. При x = −2 оба множителя отрицательны, поэтому произведение положительно. При x = 0 множители имеют разные знаки, поэтому произведение отрицательно, а при x = 3 оба множителя положительны.
4. Неравенство строгое, поэтому точки −1 и 2, в которых произведение равно нулю, не подходят. Оставляем интервалы с положительным произведением.

Ответ: (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

Решить неравенство (x − 3)/(x + 1) ≤ 0.

1. Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому x ≠ −1. Числитель равен нулю при x = 3; обе точки нужно отметить на прямой.
2. Проверяем интервалы (−∞; −1), (−1; 3) и (3; +∞). Для проверки можно взять x = −2, x = 0 и x = 4: знаки дроби соответственно положительный, отрицательный и положительный.
3. Нужно выбрать значения, при которых дробь отрицательна или равна нулю. Подходит интервал между −1 и 3, а точка 3 тоже подходит, поскольку дробь там определена и равна нулю.
4. Точка −1 исключена из области определения: в ней знаменатель равен нулю. Поэтому она не включается, хотя является границей выбранного промежутка.

Ответ: (−1; 3].

Решить неравенство ((x − 1)²(x + 2))/(x − 4) ≥ 0.

1. Область определения: x ≠ 4. Нули числителя — x = 1 и x = −2; при x = 1 множитель имеет чётную кратность, так как он возведён в квадрат.
2. Точки −2, 1 и 4 делят прямую на четыре интервала. Проверим знак на них числами −3, 0, 2 и 5; при переходе через −2 и 4 знак меняется, а через 1 — нет.
3. При x = −3 дробь отрицательна, значит, на (−∞; −2) она отрицательна. После перехода через −2 знак становится положительным и остаётся таким по обе стороны от x = 1; после x = 4 он становится отрицательным.
4. Так как неравенство нестрогое, нули −2 и 1 включаем. Точку 4 исключаем, поскольку там дробь не определена.

Ответ: [−2; 4).

Типичные ошибки

Не находят область определения и включают в ответ значения, при которых выражение не существует. Такое случается, если сразу искать нули числителя и забыть проверить знаменатель или подкоренное выражение. Перед решением выпиши ограничения, а в конце сравни с ними все граничные точки ответа.

Включают границы при строгом неравенстве или исключают нули при нестрогом. Причина — одинаковое отношение ко всем отмеченным точкам, хотя нуль функции и недопустимая точка имеют разные роли. Проверь знак неравенства: нуль включается только при ≥ или ≤ и только если функция там определена.

Механически чередуют знаки после каждой точки, не учитывая чётную кратность нуля. Это часто происходит, когда точки просто расставляют на прямой, не разбирая множители. Для точки чётной кратности знак не меняется; проверь его подстановкой с обеих сторон или проанализируй степень множителя.

Проверяют знак только на одном промежутке и переносят его на остальные без обоснования. Знаки могут меняться при переходе через некоторые точки, поэтому такой перенос даёт неверный ответ. Подставь по одной пробной точке на каждом интервале либо обоснуй изменение знака через кратности нулей.

Связь с другими темами

Для метода интервалов нужны умения находить область определения, решать уравнения с произведениями и дробями и пользоваться правилами знаков. Он применяется при решении рациональных и дробно-рациональных неравенств, а также некоторых иррациональных неравенств, если учтены условия на выражения с корнями. Связь с графиками проста: положительные значения функции соответствуют участкам графика выше оси Ox, отрицательные — ниже неё. Точки пересечения графика с осью Ox являются нулями функции.

Что запомнить

• Сначала находят область определения функции.
• Точки разбиения — это нули функции и точки, где функция не определена.
• На каждом промежутке знакопостоянства достаточно проверить одну точку.
• Нуль функции включают в ответ только при нестрогом неравенстве.
• Точки, не входящие в область определения, никогда не включают в ответ.
• При чётной кратности нуля знак функции не меняется.
• Ответ записывают объединением подходящих промежутков.