§ 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств

Определения и обозначения

Нуль функции — значение аргумента, при котором функция равна нулю: f(a) = 0. Например, если f(x) = x² − 4, то её нули — числа −2 и 2. Нули важны потому, что около них может меняться знак функции; найдя их, можно разбить числовую прямую на части и исследовать каждую отдельно.

Монотонность функции — её возрастание или убывание на некотором промежутке. Возрастающая функция при увеличении аргумента увеличивается, а убывающая — уменьшается; строгая монотонность означает, что значения действительно меняются, а не остаются одинаковыми. Это свойство помогает выяснить, сколько раз график может пересечь прямую y = c, и тем самым определить число корней уравнения.

Знакопостоянство функции — сохранение одного знака на всём промежутке: функция везде положительна либо везде отрицательна. Знак может измениться при переходе через нуль или точку, где функция не определена, поэтому эти точки рассматривают как границы промежутков. Зная знак на каждом участке, можно выбрать те значения аргумента, которые удовлетворяют неравенству.

Графический метод решения уравнения состоит в нахождении точек пересечения графиков левой и правой частей. Их абсциссы — значения x, при которых обе части равны. Для неравенства графики сравнивают по высоте: например, выбирают участки, где график левой части расположен не ниже графика правой части. График даёт наглядное представление, но найденные значения полезно проверить вычислениями.

Как это устроено

Чтобы решить уравнение f(x) = g(x), можно перенести всё в одну часть и ввести функцию h(x) = f(x) − g(x). Тогда равенство выполняется ровно в тех точках, где h(x) = 0, то есть где разность обращается в нуль. Такой переход удобен, потому что к одной функции можно применить исследование нулей, монотонности и знака. При этом область определения исходных частей сохраняет силу: преобразование не делает недопустимое значение допустимым.

Если функция строго возрастает, то при x₁ < x₂ выполняется f(x₁) < f(x₂); если строго убывает — f(x₁) > f(x₂). Поэтому два различных аргумента не могут дать одно и то же значение: иначе возникло бы противоречие строгому неравенству. Значит, уравнение f(x) = c имеет на таком промежутке не более одного корня. Чтобы доказать, что корень действительно есть, требуется отдельный довод — например, непрерывность и смена знака.

Область определения сразу исключает значения, при которых выражение не существует: например, отрицательные значения подкоренного выражения чётного корня или нуль в знаменателе. Затем можно использовать непрерывность: если на концах промежутка непрерывная функция имеет значения разных знаков, при переходе от одного значения к другому она должна пройти через нуль. Так доказывают существование корня, даже если не удаётся найти его точное выражение. Если же нужное значение лежит вне всех возможных значений функции, уравнение решений не имеет.

Для решения неравенства, например h(x) ≥ 0, сначала находят нули h и точки разрыва. Они делят область определения на промежутки, внутри которых непрерывная функция не может сменить знак: для этого ей пришлось бы обратиться в нуль. На каждом участке выбирают пробную точку и определяют знак, после чего оставляют участки, подходящие условию. Нули включают в ответ при нестрогом неравенстве, но точки разрыва не включают никогда.

Чётность позволяет связать значения функции при x и −x, поэтому иногда достаточно исследовать одну половину числовой прямой. Периодичность означает, что значения повторяются через один и тот же промежуток, и поиск можно ограничить одним периодом, а затем добавить периодические сдвиги. Ограниченность тоже сужает поиск: если функция не достигает нужного уровня, соответствующее уравнение невозможно. График помогает увидеть пересечения и подходящие участки, а точные рассуждения о свойствах нужны, чтобы обосновать вывод.

Свойства функций и их применение при решении уравнений и неравенств

Пользуйся таблицей как последовательностью подсказок: сначала проверь допустимые значения, затем выбери свойство, которое отвечает на главный вопрос задачи. Для уравнения это может быть число или существование корней, а для неравенства — знак на нужных промежутках. Несколько свойств часто работают вместе: например, монотонность доказывает единственность, а непрерывность — существование корня.

Разбор задач

Решить уравнение x² = 4

Здесь удобно рассматривать функцию y = x² и уровень y = 4. Функция чётная: противоположные аргументы дают одинаковые значения, поэтому корни, если они есть и не равны нулю, располагаются симметрично. На каждом из промежутков x < 0 и x > 0 функция строго монотонна, так что на каждом участке возможно не более одного корня.

1. Проверим область определения: выражение x² определено при всех действительных x.
2. На промежутке x < 0 функция x² убывает, а на x > 0 возрастает. Уровень 4 пересекает каждую из этих ветвей один раз.
3. Решим равенство алгебраически: x² = 4, значит, x = −2 или x = 2. Оба значения допустимы и соответствуют двум симметричным точкам пересечения.

Ответ: x = −2; x = 2.

Решить неравенство ln(x − 1) ≤ 0

Логарифмическая функция определена не при любом x, поэтому решение начинают с ограничения на аргумент. Затем используют, что ln t возрастает при t > 0: сравнение значений логарифма можно заменить сравнением их аргументов. Ноль логарифма достигается при аргументе 1, поэтому условие сводится к простой границе для x − 1.

1. Запишем ОДЗ: x − 1 > 0, откуда x > 1.
2. Так как ln t возрастает при t > 0, неравенство ln(x − 1) ≤ 0 равносильно x − 1 ≤ 1 при уже учтённом условии x − 1 > 0.
3. Решим двойное ограничение: 0 < x − 1 ≤ 1. Прибавив 1, получаем 1 < x ≤ 2; граница 1 не входит из-за ОДЗ, а 2 входит, поскольку там логарифм равен нулю.

Ответ: x ∈ (1; 2].

Решить на всей числовой прямой sin x ≥ cos x

Синус и косинус периодичны, поэтому достаточно найти подходящие x на одном промежутке длины 2π. Переносим правую часть в левую и рассматриваем знак разности: sin x − cos x = √2 sin(x − π/4). Теперь неравенство сводится к определению участков, на которых синус неотрицателен, после чего результат повторяется через период 2π.

1. Используем тождество sin x − cos x = √2 sin(x − π/4). Поскольку √2 положительно, знак разности совпадает со знаком sin(x − π/4).
2. Положим t = x − π/4. Синус неотрицателен при t ∈ [2πk; π + 2πk], где k ∈ Z.
3. Возвращаемся к x, прибавляя π/4: x ∈ [π/4 + 2πk; 5π/4 + 2πk]. Такие промежутки охватывают все повторения решения на числовой прямой, а концы включены, потому что исходное неравенство нестрогое.

Ответ: x ∈ [π/4 + 2πk; 5π/4 + 2πk], k ∈ Z.

Типичные ошибки

• Игнорирование области определения. После преобразований могут появиться значения, при которых исходное выражение не существует; их ошибочно оставляют в ответе, потому что проверяют только полученное уравнение. Запиши ОДЗ до преобразований и в конце проверь каждый кандидат в исходном условии.

• Единственность корня выводят только из непрерывности. Непрерывность со сменой знака гарантирует существование хотя бы одного нуля, но не запрещает функции пересечь ось несколько раз. Чтобы доказать единственность, дополнительно установи строгую монотонность или используй другой довод, исключающий несколько корней.

• Знак функции определяют по одной пробной точке без учёта всех нулей и разрывов. Так можно ошибочно объединить участки, между которыми функция обращается в нуль или не определена. Сначала отметь на прямой все критические точки, затем выбирай пробу отдельно в каждом промежутке и проверяй, что знак там не может измениться.

• При использовании чётности или периодичности теряют часть решений. Решение только на одном участке не охватывает автоматически симметричные или периодические значения, хотя сам участок и выбран для сокращения работы. После исследования явно отрази решения относительно нуля для чётных функций или прибавь все целые кратные периода; подставь несколько полученных значений для проверки записи.

Связь с другими темами

Для применения свойств функций нужны знания об области определения, элементарных функциях, графиках, интервалах и способах решения уравнений и неравенств. Монотонность связана с производной: производная помогает определить, где функция возрастает или убывает. Эти приёмы подготавливают к исследованию функций и доказательству существования и единственности решений. Они пригодятся при решении показательных, логарифмических, иррациональных и тригонометрических задач.

Что запомнить

• Уравнение f(x) = g(x) можно рассматривать как поиск нулей функции f(x) − g(x).
• Строго монотонная функция имеет на промежутке не более одного корня заданного уравнения.
• Перед любым решением нужно определить область допустимых значений.
• Нули и точки разрыва разбивают область определения на промежутки знакопостоянства.
• Ограниченность функции может сразу доказать отсутствие решений.
• Графически корни уравнения — точки пересечения графиков, а решения неравенства — соответствующие промежутки.
• Чётность и периодичность позволяют сократить исследуемый промежуток, но общий ответ нужно восстановить.